Institut für Geometrie und Topologie

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. Uwe Semmelmann
Dr. Tillmann Jentsch
Übungsblatt 8: Rotationsflächen, Regelflächen und Orientierbarkeit
Für die Gruppenübungen am 19.6.2012
Aufgabe 1. Sei S die reguläre Fläche parametrisiert durch F (u1 , u2 ) = (u1 cos(u2 ), u1 sin(u2 ), 1/2 u21 ) mit
u1 > 0. Also ist S die Rotationsfläche zur Kurve c(t) = (r(t), 0, z(t)) mit r(t) = t > 0 und z(t) = 1/2 t2 ,
vgl Aufgabe 7) von Blatt 7. Seien X und Y Tangentialvektoren in F (1, 2), definiert durch ihre Koordinaten
∂F
∂F
X = (1, 1) und Y = (2, −1) bzgl. der Basis ∂u
(1, 2), ∂u
(1, 2). Berechnen Sie die Länge der Vektoren X und
1
2
Y , den Winkel zwischen ihnen und ihr Skalarprodukt.
Aufgabe 2. Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche und f : S → R eine glatte Funktion mit dp f = 0 für alle p.
Zeigen Sie: ist S zusammenhängend, so ist f konstant.
Aufgabe 3. Sei S eine reguläre Fläche. Falls eine Kurve c : I → R3 , eine glatte Abbildung X : I → R3
mit kX(t)k = 1 für alle t ∈ R und eine offene Teilmenge U ⊂ I × R existieren so, dass die Abbildung
F : U → R3 , (s, t) 7→ c(s) + tX(s) die Fläche S parametrisiert (d.h. S = F (U ) und Rang(Du F ) = 2 für
alle u ∈ U ), dann heißt S eine Regelfläche. Offensichtlich parametrisiert F (s, t) für festes s einen Teil einer
Geraden. Anschaulich kann man Regelflächen daher auch als solche regulären Flächen verstehen, welche sich
durch eine 1-parametrige Schar von Geraden (oder Stücke dieser Geraden) überdecken lassen.
(a) Zeigen Sie: der nach oben offene einseitige Kegel {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 = z 2 , z > 0} und die Wendelfläche aus Aufgabe 4) von Blatt 6 sind beides Regelflächen.
(b) Beschreiben Sie das Möbiusband (wie Sie es kennen) explizit als Regelfläche in R3 .
(c) Zeigen Sie: das einschalige Hyperboloid ist eine Regelfläche. Finden Sie zwei verschiedene 1-parametrige
Geradenscharen, welche es jeweils überdecken.
Hinweis zu (b): Betrachten Sie die Menge [0, 2 π]×] − 1, 1[ modulo der Äquivalenzrelation (0, t) ∼ (1, −t)
für t ∈] − 1, 1[. Der so erhaltene topologische Raum M (mit der Quotiententopologie) ist ein (topologisches)
Möbiusband. Um dieses als Regelfläche zu realisieren, setzen wir c(s) := (2 cos(s), 2 sin(s), 0) und X(s) :=
(− sin(s/2) cos(s), − sin(s/2) sin(s), cos(s/2)) und definieren F (s, t) := c(s) + t X(s) für alle s ∈ R und
−1 < t < 1. Zeigen Sie, dass F einen Homöomorphismus von M auf S := F (R×] − 1, 1[) induziert, dass S
eine reguläre Fläche und eine Regelfläche ist. Überlegen Sie sich, dass S das Möbiusband ist so, wie es Ihrer
Anschauung entspricht.
Aufgabe 4. (a) Sei S eine reguläre Fläche. Angenommen, es existieren Parametrisierungen (U1 , F1 , V1 )
und (U2 , F2 , V2 ) mit zusammenhängenden Mengen Ui so, dass S = F1 (U1 ) ∪ F2 (U2 ) und F1−1 (F2 (U2 ))
in zwei offene und nichtleere Teilmengen, T1 und T2 , zerfällt. Zeigen Sie: falls det Dp (F2−1 ◦ F1 ) > 0
auf T1 und det Dp (F2−1 ◦ F1 ) < 0 auf T2 , so ist S nicht orientierbar.
(b) Beweisen Sie so: Das Möbiusband ist nicht orientierbar.
Hinweis zu (b): Betrachten Sie die Darstellung des Möbiusbandes als Regelfläche wie in Aufgabe 3) b).
Schriftliche Aufgabe.
Zur Abgabe am 19.6.2012 in Ihrer Übungsgruppe
Aufgabe 5. Betrachten Sie die Rotationsfläche F (s, t) := (cos(t)r(s), sin(t)r(s), z(s)) mit s ∈ I und t ∈ R.
Um sicher zu stellen, dass S := F (I × R) eine reguläre Fläche ist, machen wir die übliche Annahme, dass
r(s) > 0 und c(s) := (r(s), z(s)) eine reguläre Kurve definiert sowie, dass c : I → c(I) ein Homöomorphismus
oder I = R und c einfach geschlossen ist, vgl Aufgabe 7) von Blatt 7. Wir orientieren S durch das Einheits∂F
∂F
∂F
normalenvektorfeld N , welches durch N ◦ F = ∂F
∂s × ∂t /k ∂s × ∂t k charakterisiert ist.
(a) Berechnen Sie die zweite Fundamentalform von F in dieser Parametrisierung.
(b) Berechnen Sie die zweiten Fundamentalformen des 2-dimensionalen einschaligen Hyperboloids bzw.
des 2-dimensionalen Torus in ihren Parametrisierungen als Rotationsflächen.
∂F ∂F
,
). Was erhalten Sie für die
(c) Berechnen Sie die Determinate der Matrix (IIij ), wobei IIij := II( ∂u
i ∂uj
Beispiele aus Teil b)? Welches Vorzeichen hat det(IIij )?
Hinweis: Die zweite Fundamentalform II einer orientierten regulären Fläche S bzgl. einer orientierungs2F
treuen lokalen Parametrisierung F : U → S ist wie folgt zu berechnen: es gilt IIij = h ∂u∂i ∂u
, N i, mit
j
N :=
∂F
∂u1
×
∂F
∂F
∂u2 /k ∂u1
×
∂F
∂u2 k.