Physik I Inhaltsverzeichnis 1 Mechanik Einf ¨uhrung 2

6.3 Selbstenergie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
6.4 Das Feld eines Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MERKE
Linearisierung von sin:
Physik I
D. Pescia
sin
Christian Schluchter, [email protected]
20. Februar 2008
z ≈ z0 oder |z| << D
x
x
≈
λ
λ
für
9
9
x
<< 1
λ
→ Taylor!
1 Mechanik Einführung
Konstanten
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Mechanik Einführung
1.1 Erfassung einer Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gesetze finden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
Eindimensionale Mechanik
2.1 Kräftefreie, nicht beschleunigte Bewegung: K = 0
2.2 Gleichmässig beschleunigte Bewegung: K = const
2.3 Der freie, harmonische Oszillator . . . . . . . . .
2.4 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Spezialfall F(t) = f cos (γt) . . . . . . . . .
2.5 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Keine anregende Kraft: F = 0 . . . . . . .
2.5.2 Spezialfall: F = f cos (γt) . . . . . . . . . .
2.6 Resonanzphänomene . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Elektrischer Schwingkreis . . . . . . . . .
2.6.2 Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Allgemeine Lösung 1-dim. Probleme . . . . . . .
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
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1D-Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden
3.1 Eigenmode zweier gekoppelter harmonischer Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Eigenmode einer schwingenden Kette mit Ngekoppelten Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Übergang zum schwingenden Kontinuum: Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Die harmonische Welle . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Die stehende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Eigenfrequenzen eines schwingenden Seils . . .
3
Mechanik im euklidischen Raum
4.1 Bewegung eines Massenpunktes im Zentralfeld
4.1.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 BGL für eine Masse im Zentralfeld . . .
4.2 Kepler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Rutherfordsche Streuformel . . . . . . . . . . .
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5
5
5
5
6
6
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6
6
6
7
7
7
7
7
Grundgleichungen der Elektrostatik
6.0.1 1. Gesetz der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . .
6.0.2 2. Gesetz der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . .
6.0.3 Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Das elektrische Feld von einfachen Ladungsverteilungen
6.1.1 Feld einer Punktladung q . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Feld einer geladenen Kugel . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Feld und Potential eines Zylinderkondensators .
6.1.4 Feld einer geladenen ebenen Schicht . . . . . . .
6.1.5 Randbedingungen an Grenzflächen . . . . . . . .
6.2 Der Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Der Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
9
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Elektrisches Feld
5.1 Beschreibung des E-Feldes mit Feldlinien . . . . .
5.2 Feldstärke und Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Feld und Spannung zwischen 2 Platten . .
5.2.2 Gravitation vs. Coulomb . . . . . . . . . . .
5.3 Energie im E-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Fluss durch geschlossene Oberfläche (Gaussfläche)
.
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1eV = 1.6022 · 10−19 J
1.1 Erfassung einer Bewegung
Galilei
Messung von ~r(t) = x(t) · e~x + y(t) · e~y + z(t) · e~z über ein bestimmtes
Zeitintervall. Darin Gesetz erkennen.
Newton
Alle Bahnkurven als Lösung einer DGL, der Bewegungsgleichung (BGL)
betrachten.
m · ẍ(t) = K(x, ẋ, t)
Lage des Massenpunktes als Linearkombination dreier Basisvektoren.
r(t) (oder x(t)) ist Bahnkurve oder Trajektorie, die durch zeitabhängig
veränderliche Koordinaten entsteht.
3
1.2 Gesetze finden
4
Nullpunkt der Koordinate so wählen, dass die Trajektorie durch den
Ursprung verläuft.
Ansatz Potenzgesetz
h(t) − h0 = α(t − t0 )β
⇒ ln(h − h0 ) = ln α + β ln(t − t0 ): Geradengleichung!
Berechne die Werte ln(h − h0 ) und ln(t − t0 ), daraus zeichne und errechne
Geradensteigung und Achsenabschnitt
Ansatz exponentiell
t
f (t) = αe τ
⇒ ln( f (t)) = ln α + τ1 t
4
4
4
5
1.3 Radioaktiver Zerfall
DGL: y0 (s) = −
y(s)
λ
Lösung: y(s) = y0 e−
t−t0
λ
2 Eindimensionale Mechanik
Trennungspostulat von Newton (für kartesische Koordinaten im homogenen Kraftfeld)
mẍ = Kx (x, y, z)
m ÿ = K y (x, y, z)
mz̈ = Kz (x, y, z)
Beschleunigungen sind nur durch jew. Komponenten des Kraftvektors beeinflusst.
Anwendung: Bei mehreren Gleichungen z.Bsp. x(t) nach t auflösen und
in z(t) einsetzen.
1
Arbeit einer Kraft F auf dem Weg zwischen den Ortskoordinaten
x1 und x2 (Linienintegral!)
2. Newtonsches Gesetz
Zx2
F = ma
A(x1 → x2 ) =
x1
F: Für Bewegung verantwortliche Kraft, bestimmt Dynamik des Massenpunktes.
m: Zu bewegende Masse.
a: Beschleunigung = ẍ
F(x(t))ẋ(t)dt
t1
Zusammenhang zu Upot und Ekin :
Rx2
d
A(x1 → x2 ) = − dx
Udx
2.1 Kräftefreie, nicht beschleunigte
Bewegung: K = 0
BGL:
Zt2
F(x)dx =
x1
= U(x
=
∆U
R 1 ) − U(x2 )
=
mẍ = m2 ẋ
= Ekin
Die Kraft leistet Arbeit, um Ekin zu verändern!
mẍ = 0
totale Energie (eine Erhaltungsgrösse der Bewegung)
Lösung der DGL
x(t) = A + Bt
Mit AB: x(t0 ) = x0 , ẋ(t0 ) = v0 :
x(t) = v0 t + x0 − v0 t0
Ohne Krafteinwirkung bewegt sich ein Massenpunkt endlos entlang
einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit.
Etot = Ekin + Upot =
harmonische Approximation der pot. Energie
harmonische Näherung: Taylor-Entwicklung bis zum quadratischen
Glied:
(x − x0 )2 00
U(x) = U(x0 ) + U0 (x0 )(x − x0 ) +
U (x0 )
2!
|
{z
}
2.2 Gleichmässig beschleunigte
Bewegung: K = const
BGL: mẍ = K
[K] = kg ·
= 0, da U0 (x0 ) = 0
Gültig für kleine Schwingungen in der Nähe des Minimums U(x0 ).
m
=N
s2
BGL in der harmonischen Näherung
für die Koordinate u = x − x0 (beschreibt Abweichung von Gleichgewichtslage):
Lösung der DGL
K 2
x(t) = 2m
t + At + B
Mit AB: x(t0 ) = x0 , ẋ(t0 ) = v0 :
x(t) =
K
2
2m (t − t0 )
1 2 1 2 m
mẋ + ku =
· ω20 · A2
2
2
2
BGL: mẍ = −
+ v0 (t − t0 ) + x0
dU
= −U00 (x0 )(x − x0 )
dx
→ ü + ω0 2 u = 0
Galileo:
K = −mg, x0 =Anfangshöhe, v0 = 0
g
x(t) = − 2 t2 + x0
r
tam Boden =
2x0
g
2.3 Der freie, harmonische Oszillator
Pot. Energie
Upot (x) = −
R
F(x)dx
Lösung der DGL
[U] = Nm = J
u(t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sin (ω0 t) = A cos (ω0 t + ϕ)
wobei
In 1D gilt: F(x) = − dU
dx
Potentielle Energie ist Mass dafür, wieviel Arbeit (=Energie) ein Körper
verrichten kann.
Potential
Energie pro Einheitsmasse
• U00 (x0 ) = k: Federkonstante; x0 : Ruhelage
• ω0 2 = mk ; ω0 : Eigen(kreis)frequenz (Frequenz der freien Schwingung ohne Dämpfung)
• ω0 ∼
Epot = mV
p
U00 (x0 ) (Grundlage der Spektroskopie)
• A: maximale Amplitude
Allg. BGL:
mẍ(t) = F(x) = −
• ϕ: Phasenwinkel
dUpot (x)
dx
2
• ν=
ω0
2π :
• T=
1
ν
Eigenfrequenz
=
2π
ω0 :
Schwinungsdauer (Periode, unabhängig von A!)
2.5.2 Spezialfall: F = f cos (γt)
2.4 Erzwungene Schwingung
Bei Anwesenheit eines äusseren Feldes besitzt das System zusätzlich
zur eigenen pot. Energie auch die pot. Energie U(x, t), herrührend vom
äusseren Feld.
BGL:
ü + ω0 2 u = −
∂U
∂x
|x=x0
=
BGL: ü + 2λu̇ + ω0 2 =
1
F(t)
m
Lösung der DGL
u(t) = Ae−λt cos (ωD t + ϕ) + b cos (γt + δ)
wobei b =
Lösung der DGLinh (gilt nicht für Resonanz)
f
u(t) = A cos (ω0 t + ϕ) + m(ω 2 −γ2 ) cos (γt); γ < ω0
0
f
u(t) = A cos (ω0 t + ϕ) + m(ω 2 −γ2 ) cos (γt − π); γ > ω0
0
A und ϕ werden aus den AB gewonnen. Zusammensetzung aus einer
Schwingung mit der Eigenfrequenz ω0 des Systems und der Schwingung mit der Frequenz γ der äusseren Kraft.
Lösung der DGL im Falle der Resonanz
Lösung von oben mit γ → ω0
(ω0 2 −γ2 )2 +4λ2 γ2
und tan δ =
2λγ
γ2 −ω0 2
f
A.
= 2 bγτ| sin δ| > 0!
λ,0
absorbierte Leistung
.
f
L. = Aτ = 2 γb| sin δ|
Lorentzfunktion
Im eingeschwungenen Zustand bleibt Etot einer erzwungenen Schwingung unverändert.
Die maximale Leistungsaufnahme ist bei der Resonanzfrequenz.
Charakterisierung der Steilheit um ω0 = γ durch den Q-Faktor.
f
2mω0 t sin (ω0 t)
Von der äusseren Kraft zugeführte Energie
u(t)
R
Rτ
A. =
F. dx = F. (t) du
dt dt
u(0)
f
√
m
Für t → ∞ bleibt nur noch der zweite Summand (= der erzwungene
Term), da der erste exponentiell mit der Zeit abnimmt.
Dämpfung ermöglicht Arbeitsübertragung zwischen äusserer Kraft und
System fern der Resonanzfrequenz. Bremsung der Amplitude im Resonanzfall auf statischen Wert.
Keine sprunghafte Änderung der Phase um π bei ω0 = γ, sondern in
einem engen Frequenzbereich der Breite 2λ um ω0 .
Q-Faktor
ω
Q = 2λ0 Mass für die Schärfe der Resonanzkurve
absorbierte Energie in einer Periode
2.4.1 Spezialfall F(t) = f cos (γt)
u(t) = A cos (ω0 t + ϕ) +
f
cos (γt)
m
0
Fall γ , ω0 :
Fall γ = ω0 :
f2
A. = 0
A. = 8m τ2 (ohne Dämpfung)
Fazit: Nur im Resonanzfall ist das System im Stande, Energie zu absorbieren (=aufzunehmen).
2.5 Gedämpfte Schwingung
Reibungskraft bei der eindim. Schwingung
fD = −Dẋ
D>0
2.6 Resonanzphänomene
2.6.1 Elektrischer Schwingkreis
2.5.1 Keine anregende Kraft: F = 0
BGL:
ü + 2λu̇ + ω0 2 u = 0
Wobei die Dämpfungskonstante 2λ =
Lösung der DGL
u(t) = c1 er1 t + c2 er2 t
D
m
ist.
q̈ +
Charakteristika
Unabh. Var.
Abhängige Var.
Trägheit
Dämpfung
für λ < |ω0 | (schwache Dämpfung)
p
r1,2 = −λ±i |λ2 − ω0 2 |, komplex konjugiert. u(t) = Ae−λt cos (ωD t + ϕ)
p
Wobei ωD = |λ2 − ω0 2 |
Harmonische Schwingung mit exponentiell abnehmender Amplitude.
Die Schwingungsfrequenz ist kleiner als die Frequenz der freien
Schwingung ohne Reibung.
Reso./Eigenfreq.
für λ = |ω0 | (aperiodischer Grenzfall)
r1 = r2 = −ω0
R 1
1
L q̇ CL q − L V0
Mech. System
t
x
m
2λ q
ω0 =
k
m
Periode
τ = 2π
Q-Faktor
ω0
2λ
q
m
k
cos (ω0 t) = 0
Elektr. System
t
q
L
R
L
ω0 =
q
1
L·C
√
τ = 2π L ∗ C
ω0 ·L
R
2.6.2 Spektroskopie
u(t) = (c1 + c2 t)e−ω0 t
Transmissionsspktrum
Emin = Transmissionsminimum, max. aufgenommene (=absorbierte)
Energie
E −E
ω0 = 1 ~ 0 ; Ex = Energieniveaus
für λ > |ω0 | (starke Dämpfung)
r1,2 reell, negativ.
√
√
2
2
2
2
u(t) = c1 e−(λ− λ −ω0 )t + c2 e−(λ+ λ +ω0 )t
Aperiodische Bewegung. Asymptotische Annäherung an die Gleichgewichtslage (bei t → ∞) ohne Schwingung.
2
h
~ = 2π
= 1, 054.10−34 kg · ms
~
∆E = T = Breite der Resonanzkurve
3
2.7 Allgemeine Lösung 1-dim. Probleme
chp → det = 0 :
(2k − mω2 )2 − k2 = 0
ω2β = 3k
ω2α = mk ,
! m
!
1
1
iωαt
uα (t) = e
uβ (t) = eiωβt
1
−1
|
{z
}
|
{z
}
1
E=˙ mẋ2 + U(x)
2
|{z} |{z}
t
kin.
qE.
pot.E.
= m2 (E − U(x))
p R
√ dx
= m2
+ const
E−U(x)
dx
dt
im Takt
u1 (t)
u2 (t)
→ eine reelle Lösung für t existiert nur im Gebiet wo E > U(x)
Wo diese Bedingung nicht gilt ist der verbotene Bereich.
im Gegentakt
cα eiωα t + cβ eiωβ t
cα eiωα t − cβ eiωβ t
!
=
!
= cα uα + cβ uβ
3.2 Eigenmode einer schwingenden Kette
mit N-gekoppelten Oszillatoren
Bei Umkehrpunkten gilt Etot = U(x) mit Ekin = 0, d.h. v = 0.
Periodendauer: T(E) = 2
p m xR2 (E)
2
x1 (E)
Kette mit N-Atomen
n-te Masse:
un = xn − na |xn =Ruhelage; a =Gitterkonstante
√ dx
E−U(x)
für die harmonische Näherung
U(x) = U(x0 ) + (x − x0 )2
q
T(E) = 2π U00m(x )
U00 (x0 )
2
mün
folgt dann
=
−k(un − un−1 ) − k(un − un+1 )
=
k(un−1 + un+1 ) − 2kun
0
Schwingung: ω=˙ 2π
T
für die harmonische Nöherung gilt:
q
00
ω = Um
Periodische (Born-von-Karman) Randbedingungen:
Verbinden des ersten und letzten Atoms (Kreis) → u(n) = u(n + N)
Ansatz: u(n) = an · eiωt
Unabhängig von AB; gibt Auskunft über Krümmung (2. Ableitung!)
von Epot in der Nähe der Ruhelage x0 .
Wir setzten: |ai | = 1 → an = eiq·n·a (Einheitskreis)
mit q = zu bestimmender Paramter; na = ursprünglicher Gitterpunkt,
Referenz
3 1D-Schwingungen mit mehreren
Freiheitsgraden
chp: −mω2 = k(e−iqa + eiqa − 2) = 2k(cos(qa) − 1)
q
qa
→ ω(q) = 2 mk · sin( 2 )
Jedes q trägt bestimmte Eigenfrequenz; q klassifiziert Schwingungszustände
3.1 Eigenmode zweier gekoppelter
harmonischer Oszillatoren
RB→ eiq(n+N)a = eiqna → eiqNa = 1 → qNa = p · 2π, p = 0, 1, 2, ..., N − 1
q
Die Kopplung bewirkt, dass sich die Frequenz mk des ungekoppelten
Oszillators zu einem Frequenzband verbreitert.
Dispersionsrelation: q-Abhängigkeit von ω
Eigenmode
lineare Superposition von Fundamentallösungen
(Lsg der BGL)
Schwingungstyp, bei dem das System nur mit einer Frequenz
schwingt
3.3 Übergang zum schwingenden
Kontinuum: Die Wellengleichung
Auslenkung benachbarter Atome nur infinitesimal unterschiedlich
m · ün = k[un−1 (t) + un+1 (t)] − 2kun (t)
2
un−1 (t) ≈ un (t) − a · u0n + a2 u00
n + ...
n · a wird als kontinuierliche Variabel x betrachtet
u0n = ∂u
(x, t)
∂x
mü1 = −k · u1 − k · (u1 − u2 ) (I)
u1 = x1 − a
mü2 = −k · u2 − k · (u2 − u1 ) (II)
u2 = x2 − 2a
Bestimmung der Eigenfrequenzen ωn :
1.Möglichkeit:
(I) − (II) : m(ü1 − ü2 ) = −k(u1 − u2 ) − k((u1 − u2 ) − (u2 − u1 ))
Substitution
v = u1 − u2 : mv̈ = −kv − k2v = −3kv ⇔ v̈ + 3kv = 0
q
un+1 (t) = un (t) + au0n +
2
2
→ m ∂t2u k · a2 ∂∂xu2
a2 00
2! un
q∼0
∂2 u
ka2 ∂2 u
=
m ∂x2
∂t2
|{z}
ωα =
(I) + (II) : m(ü1 + ü2 ) = −k(u1 + u2 ) − k((u1 − u2 ) + (u2 −qu1 ))
3k
m
Substitution v = u1 + u2 : mv̈ = −kv ⇔ v̈ + kv = 0 ωβ =
+ ...
k
m
c2
u
x
t
c
Auslenkung
Ort
Zeit
Fortpflanzungsgeschwindigkeit
(Materialkonstante)
Allgemeine Lösung: Theorem (D’Alembert)
u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)
| {z } | {z }
2. Möglichkeit
Ansatz: ui = ai · eiωt , zu bestimmen: ω
−mω2 a1 eiωt = −ka1 eiωt − keiωt (a1 − a2 )
−mω2 a2 eiωt = −ka2 eiωt − keiωt!(a2 − a!1 )
!
−mω2 + 2k
−k
a1
0
=
a2
0
−k
−mω2 + 2k
Lineares, homogenes Gleichungssystem!
→
4
←
4.1 Bewegung eines Massenpunktes im
Zentralfeld
dU(|r|)
Kraft F(r) = −∇U(|r|) = d|r| ·∇|r|
∇|r| = |r|r = er Kugelsymmetrische
Funktion wie das Gravitationsfeld der Sonne oder das Coulombfeld
eines Protons.
Störung pflanzt sich fort
• Phononen: c =
q
Impuls: ~
p = m~
v
Massenpunkt führt Drehbewegung aus, falls ~
p eine Komponente
senkrecht zu ~r besitzt.
→ ~r × ~
p , 0 = ~L
Das Zentralfeld wirkt nur entlang des Radius
ka
ρ
ρ = Masse pro Längeneinheit
k · a mittlere rücktreibende Kraft
m
a
• Erdbebenwellen c =
q
→ ~L = const, Drehimpulserhaltung
E
ρ
E: Elestizitätsmodule
• Lichtwellen c: Lichtgeschwidigkeit
Drehimpuls
˙
~L zeigt in feste Raumrichtung (z-Achse), senkrecht zu ~r und~r
3.3.1 Die harmonische Welle
f (x, t) = A · cos(q · x − ωt)
ω = c · q , q Wellenzahl = Wellentäler pro Längeneinheit
λ=
2π
q
˙
L = m · ~r ×~r
Erhaltung des Drehimpuls L:
d
~ ˙
dt (m · r ×~r) = 0
| {z }
Wellenlänge
~L
2
˙ = m~r ×~r
˙ = m~r~
~L = ~r × ~
p = ~r × m~r
v = (mr2 )ω = m r T2π
~ × ~r
Merke: ~
v=ω
2. Kepler’sches Gesetz
ω=
2π
T
λ = cT
”Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fläche”
3.3.2 Die stehende Welle
Bewegung im Zentralfeld nur im 2-D (d.h. Teilchenbahn liegt in einer
Ebene) da L = const
Gesamtwelle = einfallende + reflektierende Welle
u(x, t) = A cos(qx − ωt) + B cos(qx − ωt)
RB: fester Punkt: u(x = 0, t) = 0, ∀t
u(x, t) = 2A sin qx · sin ωt
4.1.1 Polarkoordinaten
sin qxn = 0
→
eρ = cos(ϕ)ex + sin(ϕ)e y
eϕ = − sin(ϕ)ex + cos(ϕ)e y
Knoten: xn = n · λ2 , n = 0, 1, 2 . . .
ρ=r
3.3.3 Eigenfrequenzen eines schwingenden
Seils
(wird auf beiden Seiten festgehalten)
Zusätzliche RB: sin qL = 0 → q = n + 21
1
Eigenfrequenzen: ωn = c · q = c·π
L n+ 2
• Ortsvektor von P
ρ = xex + ye y = ρeρ
• Geschwidigkeit von P
ρ̇ = ρ̇eρ + ρϕ̇eϕ
π
L
• Beschleunigung von P
ρ̈ = (ρ̈ − ρϕ̇2 ) eρ + (2ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈) eϕ
| {z }
| {z }
4 Mechanik im euklidischen Raum
mr̈ = F(r) = −∇ U(r)
|{z}
Zentrifugalbeschl.
r = xex + ye y + zez
Potential
5
Coriolisbeschl.
4.2 Kepler Problem
4.1.2 BGL für eine Masse im Zentralfeld
Zentrifugalkraft= mρϕ̇2 =
U(ρ) = − GMm
= − αρ
ρ
L2
mρ3
mρ̇2
m(ρ̈ −
m( 2ρ̇ϕ̇
|{z}
ρϕ̇2
+ρϕ̈) = 0
) = F(ρ)
L
mρ2
DGL für Bahn
ϕ̇
dϕ
dρ = ρ̇
Corioliskraft
L = const
2
L
α
Totale Enerigie: E = 2 + 2mρ
2 − ρ
q
L2
α
→ ρ̇ = m2 (E − ( 2mρ
ϕ̇ =
2 − ρ ))
z}|{
p
L = mρ2 ϕ̇ → ϕ̇ =
L
mρ2
z }| {
ϕ(ρ) =
radiale BGL
L2
mρ̈ = F(ρ) + mρ
3 = (effektive Kraft) = −∇(Ue f f (ρ))
F(ρ) = − GMm
ρ2
U(ρ) =
Ue f f =
−GMm
ρ
−GMm
ρ
+
1 L2
2 mρ2
L2 /αm
(Bahngleichung)
r
2EL2
1 + cos ϕ
+1
α2 m
| {z }
p
1+ cos ϕ
ρ=
,
Exzentrität =0
Kreis
0<<1
Ellipse
=1
Parabel
>1
Hyperbel
1. Kepler Problem
E = Ue f f (ρ) + 21 mρ̇2
”Planeten bewegen sich auf Ellypsen in deren einem Brennpunkt
die Sonne steht”
Beispiele
Bsp: Drehimpuls und Energie
Ein Massepunkt ist an einer Schnur befestigt und rotiere um die z-Achse. Zieht man mit der
Kraft F an der Schnur, vermindert sich r.
Aufstellen der BGL
4.3 Rutherfordsche Streuformel
mr̈ = −F + Fz f (r) = −F +
L2
mr3
Streuwinkel θ:
tan
ϕ(t) über Definition des Drehimpulses:
ϕ̇ =
s : Stossparameter (senkrechter Abstand der Asymptoten vom Kraftzentrum)
v∞ : Geschwindigkeit im Unendlichen
−q1 q2
α = 4π
Vorzeichen von α entscheidet ob attraktives oder repulsives
Potential vorherrscht.
Streuquerschnitt:
L
mr2
Die Arbeit die von der Kraft F geleistet wird, ist die überwundene Zentrifugalkraft integriert
über die Änderung des Radius:
Zr1
W=
−
r0
θ
α
=
2
smv∞ 2
L2
L2 r1
dr =
r
mr3
2mr2 0
QM =
dσ
α
=
dΩ
2mv∞ 2
!2
1
sin4
θ
2
dΩ = 2π sin θdθ: Raumwinkel
dσ
dΩ : differentieller Wirkungsquerschnitt
Bestimme ϕ(t) Es gilt
!
∂ϕ
ϕ̇
∂ϕ ∂t
∂ϕ ∂r −1
=
=
=
ṙ
∂r
∂t ∂r
∂t ∂t
5 Elektrisches Feld
Begriffe
Erde: Potential 0, Referenzpotential
Spannung: Arbeit, um Einheitsladung von Erde zum Objekt zu
befördern.
Konstanten
|e− | = |p+ | = 1.6 · 10−19 C
1
F
−12 F
0 = 36π·10
9 m = 8.854 · 10
m
Daraus eliminiere ϕ̇ über Drehimpuls:
∂ϕ
L
=
∂r
r2 mṙ
Diese DGL lässt sich nun elementar integrieren.
Bsp: Raumschiffrennen
Wird ein Raumschiff auf einer stationären Bahn schneller wenn es ”Gas gibtöder bremst?
Auf einer stationären Bahn liefert die Gravitation die Zentripetalkraft:
1
4π0
2
= 9 · 109 Nm
C2
5.1 Beschreibung des E-Feldes mit
Feldlinien
GMm
L2
L2
= mϕ̇2 r =
⇒r=
r2
mr3
GMm2
• Feldlinien besitzen Anfang und Ende, sind also nie geschlossen.
Definition des Drehimpulses:
L = mr2 ϕ̇ ⇒ ϕ̇ =
L
mr2
• positive Ladungen werden in Richtung der Feldlinien beschleunigt
Setze 1. Ausdruck in 2. ein:
L
ϕ̇ =
m
2
L2
GMm2
∝
• Feldlinien stehen auf Metallen senkrecht
1
L3
• in Metallen befinden sich Ladungen immer an der Oberfläche, das
Innere der Metalle ist immer feldfrei
Damit nimmt ϕ̇ zu wenn L abnimmt.
6
5.2 Feldstärke und Kraft
5.3 Energie im E-Feld
F
Q
E=
geleistete Arbeit für Punktladung Q
ZB
Q: Probeladung
F: von Q gespürte Kraft
WAB = −Q
Coulombsches Gesetz
nimmt quadr. mit Abst. ab
F12 =
1
4π0
Eds
A
EES:
z }| {
Q1 Q2
r12 2
H
Edr = 0
r12
r12
|{z}
UAB = −
ZB
WAB
=
Q
Eds
A
Norm. in Rtg. Ldgs’abstand
Q1 : Feld erzeugende Punktladung
Q2 : Prüfladung
r12 = r1 − r2 = Abstand der beiden Ladungen.
Kraft des E-Feldes
E=
Elektronenvolt
Ein Elementarteilchen mit der Elementarladung e = 1.60219 ·
10−19 As erhält beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz von 1V
eine Energiezunahme von
1eV = 1.60219 · 10−19 J
1 Q1
F
=
r
Q2
4π0 r3
r: Abstandsvektor des Punktes von der felderzeugenden Ladung Q1
Es gilt das Superpositionsprinzip:
E(P0 ) =
!
n
1 X Qi
r
i0
4π0
ri0 3
i=1
5.4 elektrisches Potential
ZB
∞
Bei kontinuierlicher Ladungsverteilung im Volumen V: Integration über
die räumliche Verteilung.
Qi →
ρ(r)
· dV
|{z}
|{z}
Integral vom Referenzpunkt (Nullpunkt) bis zum betrachteten Punkt
Spannung zwischen zwei Punkten:
Ldgs’verteilung in r dxdydz
UAB = φA − φB =
E(r) =
1
4π0
Z
ρ(r)
W∞B
Q
Eds =
φB = −
Elektrostatisches (zeitlich unveränderliches) Feld, das in P0 wirkt
aufgrund der felderzeugenden Ladungen Q1 , Q2 ,...,Qn .
Q1
1
1
−
4π0 rA rB
r
dV
r3
V
Idealisierung:
~ r) = q · E(~
~ r). Die Probeladung
Auf die Probeladung q wirkt die Kraft F(~
selbst verändert aber das Feld (genauer: die Ladungsverteilung ρ(~r))
nicht.
E = −grad φ
~ r) bekannt, kann die newton’sche Bewegungsgleichung
Falls E(~
geschrieben werden als:
5.5 Fluss durch geschlossene Oberfläche
(Gaussfläche)
~ r)
BGL: m~r¨ = q · E(~
Z
φ = 0
Eds =
n
X
Qi : eingeschlossene Ladungen Vorzeichen: Treten die Feldlinien aus der
Oberfläche, ist der elektrische Fluss positiv.
Rauflösen Qnach E:
Eds = 0
S
R
Q
für Kugel: E|r r2 sin ϑdϕdϑ = Er2 4π = 5.2.1 Feld und Spannung zwischen 2 Platten
Z
Eds
S
für homogenes Feld: U = Ed
(Plattenkondensator)
0
6 Grundgleichungen der
Elektrostatik
5.2.2 Gravitation vs. Coulomb
Gravitationswechselwirkung
F = GMm
Epot = GMm
G ≈ 6.67 · 10−11 Nm2 kg−2
R
R2
Coulombwechselwirkung
q ·q
q ·q
1
1
F = 4π
· 1R2 2
Epot = 4π
· 1R 2
0
Qi
i=1
S
U=
!
6.0.1 1. Gesetz der Elektrostatik
0
7
6.1 Das elektrische Feld von einfachen
Ladungsverteilungen
~ durch eine beliebige geschlossene Fläche ist proDer Fluss von E
portional zur Gesamtladung innerhalb dieser Fläche.
Integralform:
6.1.1 Feld einer Punktladung q
Fluss des el. Feldes
z
Z
}|
Das E-Feld kann nur eine radiale Komponente Er haben:
R R
q
~ s = 4πr2 · Er (r) = q
Ed~
⇔ Er (r) = 4π ·r2
0
0
Rr
q
Φ(r) − Φ(∞) = − Er (r)dr = 4π ·r
{
~ =
~ r) · dS
E(~
S(V)
1
0
R
ρ(~r)dV =
V
q
0
S(V): Die Ladungsverteilung umgebende Fläche (=Gaussfläche)
Da die Gaussfläche überall den selben Abstand zur Ladung hat, ist das E-Feld
6.1.2 Feld einer geladenen Kugel
dort konstant und nicht von r abhängig → ziehe E(r) und r vor das Integral. Das Integral
ist dann nur noch das Volumen innerhalb der Gaussfläche. (Siehe Beispiel in 3.1.2: Feld
Eine geladene Kugel hat das selbe E-Feld wie eine Punktladung mit
derselben Ladung.
einer Kugel)
→
R
E(r) · d~s = E(r) · A =
S(V)
Q
0
R R
Die Gaussfläche muss bei Radialsymmetrie nicht die gesamte Ladung umschliessen, es muss jedoch mit der umschlossenen Ladungsmenge gerechnet werden.
Differentialform:
~ = ρ(~r) (1. Maxwell-Gesetz, Integrandenvergleich)
div E
~r−~r0
|~r−~r0 |3
R2πRπ
~ =
Eds
E(r)r2 sin ϑ dϑdφ =
0 0
S
r ≥ R : Qin =
r ≤ R : Qin =
0
Für Beweis verwendete Gleichung:
0
∞
~r 1 0
= −∇
|~r−~r |
=−
=
0
V0
~ r) = 0
rot E(~
für ρ = const)
RR R2 R2π
0 − π2 0
4
3
3 πr
r2 cos θdϕdθdr
6.1.3 Feld und Potential eines
Zylinderkondensators
äusserer Zylinder mit Ladungsdichte σa = −σ
innerer Zylinder mit Ladungsdichte σi = σ
zwischen den Zylindern:
~ r0 )d~r0 = U(~r, ~r0 )
E(~
Gaussfläche
Z Z
~r0
~=
~ S
Ed
S
~ =
[E]
Zr
V
m
Ladung
z }| {
z}|{
1
σr
2πrh E(r) =
2πri hσi ⇒ E(r) = i
0
0 r
(Spannung, Arbeit, (pot.) Energie eines laufenden“ Elektrons)
”
[Φ] = [U] = V (Volt)
~r
dr
|~r|
=
Kugeloberfläche A = 4πr2
Rotation eines Gradientenfeldes ist 0 (vgl. Integrabilitätsbedingung).
Integralform:
~ ist wegunabhängig (da es ein Potetial besitzt):
Linienintegral ber E
Potentialdifferenz
·
π
(2. Maxwell-Gesetz)
Φ(~r) − Φ(~r0 ) = −
| {z }
~ r)d~r
E(~
∞
RR
0 0 0
=
Z~r
ρR3
Qin r
= 3r2 4π0 R3
0
ρr
Qin
= 3
4π0 r2
0
Kugelvolumen
RR Rπ R2π
V=
r2 sin ϑdϕdϑdr
~ 1
−∇
|~r−~r0 |
0
RR
Q
4π0~r2
∞
Q
4π0 R
=−
auch 2. Maxwell-Gesetz genannt
Das elektrische Feld ist der Gradient eines Potentials:
R
~r − ~r0
~ r)
~ r) = 1
E(~
ρ(~r0 )
dV 0 = −∇Φ(~
4π0
|~
r
− ~r0 |3
0
V
| {z }
q
|~r−~r0 |
~ r) =
⇒ E(~
Potential
6.0.2 2. Gesetz der Elektrostatik
mit dem elektrischen
Potential:
R ρ(~r0 )
1
1
dV 0 (= 4π
·
Φ(~r) = 4π
|~r−~r0 |
~ r) =
⇒ E(~
4π 3
r)
3 R ρ(~
4π 3
r
ρ(~
r
)
3
U = Φ(R) − Φ(∞)
Q
0
φi = −
ri
!
σri 0
r
σri
dr
=
−
ln
+C
r0
0
ri
ausserhalb der Zylinder:
6.0.3 Poissongleichung
Z Z
Maxwell (1) und (2) vereinigt
S
~ = 2πrhE(r) = 1 2πh(ri − ra )σ ⇒ E(r) = ri − ra σ
~ S
Ed
0
r 0
Zr
φa =
ρ(~r)
div (−∇Φ(~r)) = −
0
∆Φ(~r) = −
ra
ρ(~r)
0
ri − ra σ 0
σ
r
dr = − (ri − ra ) ln
+ C0
r0 0
0
ra
Stetigkeit der Potentiale:
φi (ra ) = φa (ra ) ⇒ C0 = −
(nicht von zentraler Bedeutung!)
8
!
σri
ra
ln
+C
0
ri
6.1.4 Feld einer geladenen ebenen Schicht
6.2.2 Kapazitäten
Ansatz: √
~ = (0, 0, E(z))
Für z Fläche gilt E
(randlose Platte in x-y-Ebene)
Plattenkondensator
C=
F·0
d
F = Plattenfläche
d = Plattenabstand
Feld aussen: 0
Feld innen: σ
mit σ =
Wir wählen als Gaussche Fläche eine rechteckige Schachtel (s. Bild).
A : Fläche parallel zu Fläche F
~ : senkrecht auf F
E
Gesamtfluss ist |E(z)| · 2A, der Betrag der anderen Flächen ist 0.
0
Q
F
= Flächenladungsdichte
Kugelkondensator
r ·r
C = 4π0 r 1−r2
2
1
Wenn auf der inneren Kugelschale die Ladung Q ist, so ist auf
der äusseren Kugelschale die Ladung -Q.
~ =
elektrisches Feld zwischen den Schalen: E(r)
Q
~e
4π0 r2 r
Rr1
Rr1 Q
Potentialdifferenz: U = Φ(r1 ) − Φ(r2 ) = − E(r)dr = − 4π r2 dr =
0
r2
r2
Q
1
1
4π
r − r
0
2
1
Zylinderkondensator
Satz von Gauss:
~ s=
Ed~
R R
S
R R
2A
Q
F
·
1
20
R|z|
Φ(z) − Φ(0) = −
| {z }
0
C=
2π0 L
r
ln r2
1
~ s = 2 · A · |E(z)| =!
Ed~
⇒ |E(z)| =
q
0
σA
0
⇒
da σ =
σ
20
=
|E(z)| =
σ
2·0
~ = 2πrhE(r) = Q
~ · dS
E
0
Q innerhalb der inneren Schale: Qa = 0
Q ausserhalb der inneren Schale, innerhalb der äusseren Schale:
Qb = 2πri hσi
Q ausserhalb der äusseren Schale: Qc = 2πra hσa
R R
Q
F
−|z|σ
20
U
6.3 Selbstenergie einer kontinuierlichen
Ladungsverteilung
6.1.5 Randbedingungen an Grenzflächen
~a − E
~i) =
~n · (E
σ
0
Die Selbstenergie entspricht der Energie, die benötigt wird, um andere
Ladungsverteilung in die Nähe der vorhandenen Ladungsverteilung
zu bringen.
Die Arbeit, die für das Erzeugen der Ladungsverteilung ρ benötigt
wurde:
Z
0
~ 2 (~r) dV
Epot =
E
2
~ unstetig an Grenzflächen. Der Sprung beträgt
Normalkomponente von E
σ
0 .
~a − E
~i) = 0
~n × (E
~
Tangentialkomponente des E-Feldes
ist stetig an geladenen Grenzflächen.
6.2 Der Kondensator
Da über den gesamten Raum integriert wird, gilt
U=
Kapazität C
Q
C=
U
seriell:
1
C
=
1
C1
+
1
C2
,
C
[C] =
= F (Farad)
V
Z2π Zπ Z∞
Z∞
E2 (r) sin(ϑ)r2 drdϑdϕ = 20 π
0
0
0
R
0
beim Plattenkondensator:
U2
Etot = Epot = 20 VKond. · 2
d
|{z}
6.2.1 Der Plattenkondensator
E2
6.4 Das Feld eines Dipols
Feld im Innern: E =
Ladung q am Ort d~ und Ladung −q im Nullp. (d → 0)
~
p = |q| · d~ elektrisches Dipolmoment
Elektrisches Potential eines
 Dipols:
p · ~r
1  −q
1 
1 ~
φ(~r) =
+

=
4π0  ~r
~  4π0 |~r|3
|~r − d|
|
{z
}
σ
0
d
U = Φ(− d2 ) − Φ( d2 ) = −
R2
− 2d
σ
0 dz
=d·
σ
0
Q
= d F·
0
,F d
1 =
~
|~r−d|
9
√
E2 (r)dr
0
Bei geladenen Kugeln gilt:

R
R∞

R ~ 2
~ 2aussen (~r) dr
(~
r
)
dr
+
E
Epot = 20 π  E

innen
parallel: C = C1 + C2
,
0
2
1
1r
r2 +d2 −2~r2 ·d~ Taylor
~r
1+ d·~
2
r
Feld eines Dipols
(für r2, 0):
3[~
p·~r]~r−~
p|~r|
~
~
E = −∇φ(~r) =
∝
5
4π0 ·|~r|
1
r→∞ r3
exaktes
alle r:
Feld f2ür
1
4π
~ = 3[~p·~r]~r−~p|~5r| −
·
δ(~r)~
p
E
4π0 ·|~r|
4π0 3
|
{z
}
δ: Delta-Funktion
Feld am Ort des Dipols
10