Geometrie und Topologie von Flächen

SoSe 2016
Prof. Dr. Thomas Vogel
Dr. Jonathan Bowden
Geometrie und Topologie von Flächen
Aufgabenblatt 12 - ohne Abgabe
Aufgabe 1. Sei R ⊂ S eine kompakte Teilmenge einer orientierten Fläche, die von endlich vielen
Kurven C1 , . . . , Ck berandet wird (die Kurven sind orientiert als Rand von R). Wir betrachten eine
stetige Familie von Vektorfeldern Yt , t ∈ [0, 1] so dass Y0 und Y1 Vektorfelder mit isolierten Singularitäten sind. Es gelte Yt (p) 6= 0 für alle t ∈ [0, 1] und p ∈ ∂R = C1 ∪ . . . ∪ Ck . Seien p1 , . . . , pm bzw.
q1 , . . . , qn die Nullstellen von Y0 bzw. Y1 . Zeige, dass
m
n
X
X
ind(Y0 , pi ) =
ind(Y1 , qj ).
i=1
j=1
Aufgabe 2. Sei f = cn X n + . . . + c1 X + c0 ∈
beweisen, dass f eine Nullstelle hat.
C[X] ein Polynom vom Grad n ≥ 1. Wir wollen
a) Zeige, dass es ein ρ > 0 gibt, so dass für alle z ∈
n−1
C mit |z| = ρ gilt |cnzn| > Pj=0
cj z j .
b) Wende Aufgabe
1 oben
P
und Aufgabe 2 der Präsenzübung auf die Familie von Vektofeldern ft (z) =
n−1
n
j
cn z + t
und R = Bρ (0) an um zu zeigen, dass f1 = f eine Nullstelle hat.
j=0 cj z
R
Aufgabe 3. Sei S eine kompakte Fläche mit χ(S) 6= 2. Zeige, dass eine glatte Funktion f : S −→
mindestens drei kritische Punkte hat. Überlege zuerst warum es mindestens zwei kritische Punkte gibt
und wende den Satz von Poincaré-Hopf auf das Gradientenvektorfeld von f an. Ohne Beweis darf man
folgende folgende Tatsachen verwenden:
1. Die Menge der regulären Werte einer glatten Funktion auf einer glatten Fläche ist dicht (Satz
von Sard).
R
R
2. Sei f : S −→ eine glatte Funktion auf einer kompakten Fläche und x ∈ ein regulärer Wert.
Dann ist f −1 (x) die Vereinigung von endlich vielen einfach geschlossenen Kurven. (Variation auf
das Lemma von regulären Wert.)
Aufgabe 4.
1
R2) der Torus mit
ϕ : R2 −→ R3
Sei T = ϕ(
(u, v) 7−→ (2 + cos(v)) cos(u), (2 + cos(v)) sin(u), sin(v) .
Zeige, dass
f : T −→
R
p 7−→ sin
u
2
sin
v 2
sin
u+v
2
mit ϕ(u, v) = p
eine wohldefinierte, glatte Funktion auf T ist, die genau drei kritische Punkte hat.
1 Diese
Aufgabe dient in erster Linie der Wiederholung.
1
Präsenzaufgaben Woche 12
Aufgabe 1. Man bestimme die Indices in (0, 0) folgender Vektorfelder auf R2 :
(a) Y1 (x, y) = (x, y)T
(b) Y2 (x, y) = (−x, y)T
(c) Y3 (x, y) = (y, x)T
(d) Y4 (x, y) = (x, −y)T
(e) Y5 (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy)T
R2 mit C (durch C 3 z = x + iy) und betrachten die Vektorfelder
Yn : R2 \ {(0, 0)} ' C \ {0} −→ R2
Aufgabe 2. Wir identifizieren
z 7−→ <(z n )
∂
∂
+ =(z n )
∂x
∂y
Z
mit n ∈
(und der Konvention z 0 = 1 für z 6= 0). Bestimme ind(Yn , 0). Es ist nützlich, z in
Polarkoordinaten darzustellen.
R
Aufgabe 3. Sei P ⊂ 3 ein konvexes Polyeder. Sei E, K, F die Anzahl der Ecken, Kanten bzw.
Flächen von ∂P . Welche der folgender Werte können tatsächtlich vorkommen:
(a) E = 10, K = 22, F = 10
(b) E = 8, K = 12, F = 6
(c) Alle Flächen sind Dreiecke und E = 10, K = 20, F = 12
(d) Alle Flächen sind Dreiecke und E = 4, K = 6, F = 4
Aufgabe 4. Sei Y : B1 (0) −→
so dass
R2 ein stetiges Vektorfeld auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe,
Y (x, y) =
x
y
falls (x, y) ∈ ∂B1 (0).
Zeige, dass Y Nullstellen im Inneren der Scheibe hat. Zeige, dass
k
X
ind(Y, pi ) = 1
i=1
falls die Nullstellenmenge von Y genau {p1 , . . . , pk } ist.
Hinweis: Man verwende Aufgabe 1 des Übungsblattes.
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