Geometrie/Topologie I HS 2009

Übungsaufgaben zu
Geometrie/Topologie I
HS 2009
Universität Zürich
Frøyshov
Blatt 5
Abgabe: Di 20.10.09 um 13 Uhr
Aufgabe 1. Seien M ⊂ Rm und N ⊂ Rn Untermannigfaltigkeiten derselben
Dimension und f : M → N eine injektive glatte Abbildung, deren Tangentialabbildung T fp in jedem Punkt p ∈ M ein Isomorphismus ist. Zeigen Sie,
dass f (M ) = N ∩ U für eine offene Menge U ⊂ Rn , und dass die Umkehrabbildung g := f −1 : N ∩ U → M glatt ist.
Aufgabe 2. Seien P ⊂ Rm und Q ⊂ Rn Untermannigfaltigkeiten und x ∈ P ,
y ∈ Q.
(i) Zeigen Sie, dass T(x,y) (P × Q) = Tx P ⊕ Ty Q.
(ii) Sei nun P eine orientierbare Hyperfläche mit Einheitsnormalenfeld N .
Finden Sie ein Einheitsnormalenfeld Ñ von
M := P × Rn ⊂ Rm × Rn = Rm+n .
Drucken Sie die zweite Fundamentalform von M in (x, y) mit Hilfe von der
zweiten Fundamentalform von P in x aus.
Aufgabe 3. Sei f : R × (−1, 1) → R3 gegeben durch
f (s, t) = ((2 + t cos(s/2)) cos s, (2 + t cos(s/2)) sin s, t sin(s/2)).
Zeigen Sie, dass das Bild M von f eine nicht-orientierbare Fläche ist.
Aufgabe 4. Dies ist eine Fortsetzung von Aufgabe 3.
(i) Bestimmen Sie die Matrix der ersten Fundamentalform Ip von M im
Punkt p := f (0, 0) bezüglich der Basis ∂1 f (0, 0), ∂2 f (0, 0) von Tp M .
(ii) Sei M + die Menge aller Punkte (x, y, z) ∈ M mit x > 0. Zeigen Sie,
dass M + eine orientierbare Fläche ist. Wählen Sie ein Einheitsnormalenfeld
N von M + und berechnen Sie die Matrix der Weingarten-Abbildung Wp
bezüglich derselben Basis von Tp M + = Tp M wie in (ii). (Hinweis: Siehe den
Beweis vom Satz 5.3.)