Blatt 13 - Höhere Mathematik an der TUM

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Simone Warzel
Dr. Michael Prähofer
Mathematik 3 für Physik
(Analysis 2)
Sommersemester 2009
Blatt 13
(13.07.2009)
Zentralübung
70. Newtonsches Theorem
Beweisen Sie das von Newton 1687 in seinen Principia hergeleitete Theorem über die
Wirkung der Gravitationskraft der folgenden Massenverteilungen.
Eine sphärisch symmetrische Massenverteilung ist äquivalent zu einem Massenpunkt.
Hinweis: In anderen Worten, zeigen Sie, dass die Kraft, die das von einer sphärisch symmetrischen (hinreichend schnell abfallenden) Massenverteilung ρ : [0, ∞) → R herrührende
Gravitationspotential
Z
ρ(|y|) 3
φ(x) = −
d y
R3 |x − y|
an einem Punkt x ∈ R3 \ {0} erzeugt, gleich der Kraft ist, die ein fiktiver, im Ursprung
lokalisierter Massenpunkt auf x ausübt. Zeigen Sie, dass die Masse dieses fiktiven Punktes
gleich der sich innerhalb der Kugel K := {y ∈ R3 : |y| ≤ |x|} befindlichen Masse ist.
Schreiben Sie dazu den Integranden von φ(x) in Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ), die so gewählt
sind dass x auf der {θ = 0}–Halbachse liegt, und bestimmen eine Stammfunktion bezüglich
θ.
71. Lineare Transformationen von Flächen und Volumen
Seien a, b, c ∈ Rn . Man zeige mit der Definition des Volumens von Parallelotopen:
(a) Die Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms ist F = |a||b| sin φ ∈ R+
0,
wobei φ ∈ [0, π] der Winkel zwischen a und b ist.
(b) Das 3–dimensionale Volumen des von a, b, c aufgespannten Spats (=3-dimensionales
Parallelotop) ist V = F · h, wobei h ∈ R+
0 die Länge des Lotes von der der Spitze von
c auf den von a, b aufgespannten Unterraum ist.
72. Volumen und Oberfläche des Torus
Sei R > S > 0. Berechnen Sie Volumen und Oberfläche des Torus
T := {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 +
p
x2 + y 2 − R
2
≤ S 2 }.
Hinweis: Man benutze die Parametrisierung
Ψ : (r, θ, ϕ) 7→ (R + r cos θ) cos ϕ, (R + r cos θ) sin ϕ, r sin θ ∈ R3 .
Hausaufgaben
73. Trägheitsmoment eines hyperbolischen Achtecks
Das Trägheitsmoment einer Fläche F ⊂ R2 bezüglich Rotation um den Ursprung ist
Z
(x2 + y 2 )d(x, y)
F
Sei nun F := {(x, y) ∈ R2 : |x2 − y 2 | ≤ 1 , |2xy| ≤ 1}.
(a) Skizzieren Sie die Menge F .
(b) Berechnen Sie den Schwerpunkt von F . Hinweis: Symmetrie.
(c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment von F bezüglich des Ursprungs. Hinweis: Koordinatentransformation u = x2 − y 2 , v = 2xy für ein geeignetes Teilstück von F .
74. Gaußsches Integral
(a) Man berechne
R
2
e−a|x| d2 x, a > 0, durch Transformation auf Polarkoordinaten und
|x|<R
zeige durch Betrachten des Limes R → ∞, dass
R
2
e−ax dx =
pπ
a
gilt.
R
(b) Sei A ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit. Zeigen Sie, dass
r
Z
πn
−x·Ax n
.
e
d x=
det A
Rn
Hinweis: Hauptachsentransformation.
75. Fläche eines hyperbolischen Paraboloiden
Gegeben ist die Fläche S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 − y 2 − z = 0}. Berechnen Sie den
Flächeninhalt jeweils von
(a) S1 = S ∩ {|x| ≤ 1 und |y| ≤ 1} (Reduzieren Sie auf ein Einfachintegral, welches z.B.
per Computeralgebra-Programm und/oder numerisch ausgewertet werden soll),
√
(b) S2 = S ∩ {|x| + |y| ≤ 2},
(c) S3 = S ∩ {x2 + y 2 ≤ 2}.
Als Parametrisierungen stehen zur Auswahl: (x, y) oder
x + y, v = x − y
R 1(u, v) mit u = √
c + t2 ) + C.
oder (r, φ) mit x = r cos φ, y = r sin φ. Benutzen Sie √c+t
dt
=
ln(t
+
2
Abgabe der Hausaufgaben:
21.07.–23.07.2009, in den jeweiligen Tutorübungen
Die Klausur findet am Dienstag, den 4.8.2009, 9:00 im Hörsaal MW 2001 statt.
Erlaubte Hilfsmittel: zwei selbsterstellte DIN-A4-Blätter