Geometrie / Topologie I Serie 6

Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2016
Geometrie / Topologie I
Serie 6
Abgabe: Montag 07.11.2016, 10.00 Uhr.
Aufgabe 1. (3 Punkte) Berechne die Euler-Characteristik der folgenden Flächen.
Aufgabe 2. (2 Punkte) Berechne folgendes:
(i) die Euler-Characteristik eines Kreisrings.
(ii) die Euler-Characteristik der Fläche nT 2 #mP 2 , wobei m, n ≥ 0, und nF := F # . . . #F .
| {z }
n−mal
Aufgabe 3. (2 Punkte) Beweise, dass χ(Σg,n ) = 2−2g−n und χ(Pg,n ) = 2−g−n, wobei
Σg,n die zusammenhängende Summe von g Tori ohne n offene Kreisscheiben und Pg,n
die zusammenhängende Summe von g projektiven Ebenen ohne n offene Kreisscheiben
ist.
Aufgabe 4. (2 Punkte) Sei F eine topologische Fläche, die die Vereinigung zweier
abgeschlossener Mengen A, B ist. Beweise, dass χ(F ) = χ(A) + χ(B) − χ(A ∩ B).
Aufgabe 5. (3 Punkte) Ein Platonischer Körper ist ein konvexer Körper, der von
zueinander kongruenten regelmässigen Vielecken begrenzt ist, so dass, in jeder Ecke
gleich vielen Seiten treffen. Beweise mithilfe der Euler-Charakteristik, dass genau fünf
Platonischen Körper existieren.
Aufgabe 6. (2 Punkte) Sei F eine simpliziale Fläche ohne Rand. Beweise die folgende
Ungleichung:
1
p
p
1
V ≥
7 + 49 − 24 χ(F ) =
7 + 1 + 48g ,
2
2
wobei V die Anzahl von 0-Simplexen in F und g das Geschlecht von F ist.
1
Aufgabe 7. (3 Punkte)
(i) Finde und beweise die Formel für die Winkelsumme eines Polygons mit n Ecken.
(ii) Wir definieren eine polygonale Fläche als einen 2-dimensionalen Zellkomplex K,
der das folgendes erfüllt:
• die 2-Zellen in K sind Polygone mit n Ecken, die sich entlang einer gemeinsamen Kante schneiden;
• K erfüllt die drei Eigenschaften eines Simplizialkomplexes;
• link(v, K) ≈ S 1 für jeden v ∈ K (0) .
Für eine simpliziale Fläche gilt es 3F = 2K, wobei F die Anzahl der Flächen und
K die Anzahl der Kanten ist. Beweise die entsprechende Formel für eine polygonale
Fläche.
(iii) Die Krümmung kann auf den Ecken einer polygonalen Fläche durch die Formel der
simplizialen Krümmung definiert werden. Beweise das Gauss-Bonnet Theorem für
polygonale Flächen.
Aufgabe 8. (3 Punkte) Sei K ein Simplizialkomplex und σ ∈ K ein Simplex. Definiere:
star(σ, K) := {η ∈ K | η ist eine Seite von einem Simplex in K, der auch σ als Seite hat},
link(σ, K) := {η ∈ star(σ, K) | η ∩ σ = ∅}.
Beweise, dass ein 2-dimensionaler Simplizialkomplex K ist genau dann eine Fläche, wenn
link(v, K) homöomorph zu S 1 ist, für jedes v ∈ K (0) .
2