Geometrie / Topologie I Serie 5
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Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2015
Geometrie / Topologie I
Serie 5
Abgabe: Montag 26.10.2015, 10.00 Uhr.
Aufgabe 1. (3 Punkte) Berechne folgendes:
(i) die Euler-Characteristik eines Kreisrings.
(ii) die Euler-Characteristik der Fläche nT 2 #mP 2 , wobei m, n ≥ 0, und nF := F # . . . #F .
| {z }
n−mal
Aufgabe 2. (2 Punkte) Beweise, dass χ(Σg,n ) = 2 − 2g − n und χ(Pg,n ) = 2 − g − n.
Aufgabe 3. (2 Punkte) Sei F eine topologische Fläche, die die Vereinigung zweier
abgeschlossener Mengen A, B ist. Beweise, dass χ(F ) = χ(A) + χ(B) − χ(A ∩ B).
Aufgabe 4. (3 Punkte) Ein Platonischer Körper ist ein konvexer Körper, der von
zueinander kongruenten regelmässigen Vielecken begrenzt ist, so dass, in jeder Ecke
gleich vielen Seiten treffen. Beweise mithilfe der Euler-Charakteristik, dass genau fünf
Platonischen Körper existieren.
Aufgabe 5. (2 Punkte) Existieren zwei Flächen mit Rand, die gleiche Euler-Characteristik
haben aber nicht homöomorph sind?
Aufgabe 6. (3 Punkte) Beweise, dass jede simpliziale Fläche ohne Rand eine gerade
Anzahl von 2-Simplizen enthält.
Aufgabe 7. (3 Punkte) Sei B eine Kreisscheibe in Rn . Beweise, dass der Fixpunktsatz
für eine stetige Abbildung f : B → B gilt, dann und nur dann, wenn er für eine stetige
Abbildung g : D2 → D2 gilt.
Aufgabe 8. (2 Punkte) Beweise, dass der Fixpunkt Eigenschaft eine topologische Eigenschaft ist, dass heisst sie invariant unter Homöomorphismen ist.
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