Differentialgeometrie WS 10/11 Lösungsvorschlag Blatt 11

Differentialgeometrie WS 10/11
Lösungsvorschlag Blatt 11
Aufgabe 1. Es sei M ⊂ Rn eine Teilmenge mit der folgenden Eigenschaft: Für alle p ∈ M existiert eine
lokale Parametrisierung
F :U →W ⊂M
wobei U ⊂ R eine offene Teilmenge und W ⊂ M eine offene Umgebung von p ist. (Zur Definition von lokaler
Parametrisierung siehe Proposition 5.1.ii. im Skript). Man zeige, dass M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit im Rn ist, und dass für jede lokale Parametrisierung F : U → W ⊂ M die Umkehrabbildung F −1 : W → U
eine lokale Karte von M ist.
k
Hinweis: Satz über die Umkehrfunktion.
Lösung:
Seien p ∈ W ⊂ S und F : U → W ⊂ M ⊂ Rn wie in der Voraussetzung angegeben sowie u ∈ U mit F (u) = p.
Nach Definition einer lokalen Parametrisierung hat Du F ∈ Rn×k Rang k. Wir können o.E. annehmen, dass die
ersten k Zeilen von Du F ∈ Rn×k linear unabhängig sind1 . Betrachten wir nun die Abbildung
H : U × Rn−k → Rn ,
(u, x) 7→ (F1 (u), ..., Fk (u), x1 + Fk+1 (u), ..., xn−k + Fn (u))
Dann gilt
H(U × {0}) = F (U ) = W ⊂ M
(1)
(
)
X
0
und D(u,0) H =
, wobei X die (k × k)-Matrix ist, deren j-te Spalte mit der j-ten Spalte von Du F
⋆ En−k
übereinstimmt. Damit hat X Rang k und D(u,0) H ist invertierbar.
Nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es somit eine offene Umgebung V ⊂ U × Rn−k von (u, 0) und
eine offene Umgebung V ′ ⊂ Rn von p sowie eine glatte Abbildung H −1 : V ′ → V, welche H|V invertiert.
Nach Gleichung (1) erhalten wir nur H(V ∩ (U × {0})) ⊂ V ′ ∩ M. Damit H −1 ein lokalen Flachmacher von
M ist, müsste aber H(V ∩ (U × {0})) = V ′ ∩ M gelten. Daher schränken wir die Umgebungen V und V ′ noch
weiter ein:
Da F : U → W ein Homöomorphismus und (V ∩ (Rk × {0})) ∩ U eine offene Teilmenge von Rk ist, ist auch
F ((V ∩ (Rk × {0})) ∩ U ) offen in W und damit auch offen in M. Also gibt es eine offene Teilmenge Z ⊂ Rn , die
p enthält, sodass
Z ∩ M = F ((V ∩ Rk × {0}) ∩ U ) = H(V ∩ (U × {0})).
Wir können o.E. annehmen, dass Z in V ′ enthalten ist. Damit ist H −1 |Z ein lokaler Flachmacher von M und
M somit eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn .
Zudem ist F −1 |M ∩Z = H −1 |M ∩Z . Daher ist F −1 auf M ∩ Z glatt. Eine analoge Konstruktion ist für alle p ∈ S
möglich. Insbesondere ist F −1 lokal immer Einschränkung eines lokalen Flachmachers von M und damit überall
in W glatt. Daher ist F −1 : W → U eine lokale Karte von M.
Aufgabe 2. Man berechne die ersten Fundamentalformen sowie Einheitsnormalenfelder von
(a) S := graph(f ) ⊂ R3 bezüglich der lokalen Parametrisierung
F :U
(u1 , u2 )
→ R3
7→ (u1 , u2 , f (u1 , u2 )) .
Hier ist f : U → R eine glatte Funktion definiert auf einer offenen Teilmenge U ⊂ R2 .
(b) S := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 , z > 0} ⊂ R3 (Kegel) bezüglich der lokalen Parametrisierung
F : (0, 2π) × (0, ∞) →
(ϕ, r) 7→
R3
r · (cos(ϕ), sin(ϕ), 1) .
Machen Sie sich jeweils klar, dass es sich wirklich um eingebettete Flächen handelt.
Lösung:
1 Anderenfalls betrachten wir eine Umordnung {i , ..., i } von {1, ..., n} mit der Eigenschaft, dass die i -te bis i -te Zeile von
n
1
1
k
Du F ∈ Rn×k linear unabhängig sind und A(M ) anstelle von M, wobei A ∈ O(n) die Abbildung ist, für welche A(ej ) = eij gilt.
(a) Die Parametrisierung F von S ist global, d.h. S = F (S). Wir bemerken, dass


1
0
( ∂F
)
∂F
1 
(u) =  0
Du F = ∂u1 (u), ∂u
2
∂f
∂f
∂u1 (u)
∂u2 (u)
immer Rang zwei hat und F ein Homöomorphismus auf S mit der Teilmengentopologie ist. Damit ist F
eine Parametrisierung von S und S nach Aufgabe 1 eine eingebettete Fläche. Wir erhalten für die erste
Fundamentalform bzgl. F :


(
)2
∂f
∂f
∂f
1
+
(u)
(u)
(u)
∂u1
∂u1
∂u2


(
)2 
g : U → R2×2 , u 7→ 
∂f
∂f
∂f
1 + ∂u2 (u)
∂u1 (u) ∂u2 (u)
und für das Einheitsnormalenvektorfeld:
N :U
u
→ R3 ,
7→
∂F
(u) ×
∂u1
∂F
∂u1 (u) ×
∂F
∂u2 (u)
∂F
∂u2 (u)


∂f
− ∂u
(u)
1
1
 ∂f

=√
(
)2 (
)2 − ∂u2 (u) .
∂f
∂f
1
1 + ∂u1 (u) + ∂u2 (u)
(b) Das Differential der Abbildung F̃ : R × (0, ∞) → R3 , (ϕ, r) → (r cos(ϕ), r sin(ϕ), r), gegeben durch


−r sin(ϕ) cos(ϕ)
D(ϕ,r) F̃ =  r cos(ϕ) sin(ϕ)  ,
0
1
hat in jedem Punkt (ϕ, r) Rang zwei (da sin und cos keine gemeinsamen Nullstellen haben) und das Bild
von F̃ ist ganz S. Man überzeugt sich, dass es für jeden Punkt p ∈ S ein offenes Intervall (a, b) ⊂ R
gibt, sodass F̃ |(a,b)×(0,∞) eine lokale Parametrisierung von S um p ist. Nach Aufgabe 1 ist damit S eine
eingebettete Fläche im R3 .
Wir erhalten als erste Fundamentalform g bzgl. F und als Normalenvektorfeld:
(
g(ϕ, r) =
2
r
0
)
0
2

cos(ϕ)
1
= √  sin(ϕ)  .
und N (ϕ, r) = ∂F
∂F
2
∂u1 (ϕ, r) × ∂u2 (ϕ, r)
−1
∂F
∂u1 (ϕ, r)
×
∂F
∂u2 (ϕ, r)

Aufgabe 3. Es sei S ⊂ R3 eine zusammenhängende orientierbare Fläche und es seien N1 , N2 : S → R3
Einheitsnormalenfelder. Man zeige, dass entweder N1 = N2 oder N1 = −N2 gilt.
Anleitung: Zeigen Sie zuerst, dass für alle p ∈ S die Beziehung N1 (p) = ±N2 (p) gilt, und beweisen Sie anschließend, dass die beide Teilmengen
S+ := {p ∈ S | N1 (p) = N2 (p)} , S− := {p ∈ S | N1 (p) = −N2 (p)}
abgeschlossen in S sind. Beachten Sie nun, dass (nach Definition in der mengentheoretischen Topologie) die
einzigen zugleich offenen und abgeschlossenen Teilmengen eines zusammenhängenden topologischen Raumes X
die Teilmengen X und ∅ sind.
Lösung: Sei p ∈ S, dann ist Tp S ein zweidimensionaler Unterraum von R3 und das orthogonales Komplement
Np S := (Tp S)⊥ eindimensional. Damit gibt es in Np S lediglich zwei Einheitsvektoren, welche sich um ein
Vorzeichen unterscheiden. Da N1 (p), N2 (p) ∈ Np S und ||N1 (p)|| = ||N2 (p)|| = 1 gilt, erhalten wir N1 (p) =
±N2 (p).
Damit folgt insbesondere S = S+ ∪ S− , also S− = S \ S+ und S+ = S \ S− .
Da die Abbildungen N1 , N2 : S → R3 stetig sind, sind dieses auch die Abbildungen N1 ∓ N2 . Damit sind aber
die Mengen S± = (N1 ∓ N2 )−1 ({(0, 0, 0)}) abgeschlossen in S.
Andererseits sind die Mengen S± wegen S± = S \ S∓ auch offen in S. Da S zusammenhängend ist, folgt also
entweder S+ = S, also N1 = N2 , oder S− = S, also N1 = −N2 .
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für eine eingebette Fläche S ⊂ R3 folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) S ist orientierbar.
(ii) Es gibt einen glatten Atlas (Wi , ϕi )i∈I von S, so dass die Determinanten der Jacobimatrizen
aller) Über(
gangsfunktionen positiv sind, d.h. für alle i, j ∈ I und alle x ∈ ϕi (Wi ∩ Wj ) gilt det Dx (ϕj ◦ ϕ−1
i ) > 0.
Bemerkung: Die Eigenschaft (ii) kann auch für abstrakte Mannigfaltigkeiten formuliert werden und dient in
diesem Fall als Definition von orientierbar“.
”
Lösung: Zunächst einige Erinnerungen aus der Linearen Algebra:
(1) Eine Orientierung eines reellen Vektorraums V ist eine Äquivalenzklasse von geordneten Basen von V. Dabei heißen zwei geordnete Basen von V äquivalent, wenn die Basistransformation zwischen ihnen positive
Determinante hat. Auf einem reellen Vektorraum V gibt es also zwei Orientierungen.
(2) Für V = Rn kann man diese zwei Orientierungen auch explizit beschreiben. Für eine geordnete Basis
(b1 , ..., bn ) sei B(b1 ,...,bn ) ∈ Rn×n die Matrix deren j-te Spalte gerade bj ist. Dann sind die beiden Orientierungen von Rn gegeben durch
O+
O−
=
=
{(b1 , ..., bn ) | (b1 , ..., bn ) geordnete Basis von Rn , det(B(b1 ,...,bn ) ) > 0} und
{(b1 , ..., bn ) | (b1 , ..., bn ) geordnete Basis von Rn , det(B(b1 ,...,bn ) ) < 0}.
Vertauscht man in einer geordneten Basis (b1 , ..., bn ) ∈ O± zwei Basisvektoren miteinander, so liegt die
dadurch erhaltene geordnete Basis in O∓ .
(3) Sei nun V = R3 und U ⊂ R3 ein 2-dimensionaler Untervektorraum. Zwei geordnete Basen (b1 , b2 ) und
(b̃1 , b̃2 ) von U definieren die gleiche Orientierung auf U, wenn sich die Vektoren b1 × b2 ∈ U ⊥ und b̃1 × b̃2 ∈
U ⊥ nur um einen positiven Faktor unterscheiden. Wenn ein Vektor n ∈ U ⊥ vorgegeben ist, so definieren
zwei geordnete Basen (b1 , b2 ) und (b̃1 , b̃2 ) von U genau dann die gleiche Orientierung auf U, wenn die
beiden Determinanten det(b1 , b2 , n) und det(b̃1 , b̃2 , n) das gleiche Vorzeichen haben.
(4) Sei nun S ⊂ R3 eine eingebettete Fläche und (W, ϕ) eine Karte von S, d.h. mit U := ϕ(W )(ist ϕ−1 : U → W)
∂
∂
eine lokale Parametrisierung von S (vgl. Aufgabe 1). Dann definiert die geordnete Basis ∂u
(w), ∂u
(w)
1
2
eine Orientierung von Tw S, w ∈ W. Diese Orientierung entsteht durch die Standardbasis des R2 unter der
∼
=
Identifizierung Tw ϕ : Tw M −→ R2 .
Man sieht also, dass zwei Karten (W1 , ϕ1 ) und (W2 , ϕ2 ) von S mit zusammenhängenden Definitionsbereichen W1 und W2 genau dann die selbe Orientierung auf Tw S, w ∈ W1 ∩ W2 , induzieren, wenn die
Determinate der Jacobimatrix des Kartenwechsels im Punkt ϕ(w) positiv ist, d.h. det(Dϕ(w) (ψ◦ϕ−1 )) > 0.
(i) ⇒ (ii) : Wenn S orientierbar ist, so gibt es ein glattes Einheitsnormalenvektorfeld N : S → R3 . Sei A
ein Atlas von S. Wir können o.E. annehmen, dass die Definitionsbereiche der Karten zusammenhängend sind.
Dieser Atlas kann als Vereinigung
A = A+ ∪ A−
mit
)
}
∂
(w), N (w) > 0 für alle w ∈ W
und
∂u2
)
}
∂
A−
(w), N (w) < 0 für alle w ∈ W
∂u2
)
(
∂
∂
(w),
(w),
N
(w)
stetig ist und nirgends vergeschrieben werden, da die Funktion W → R, u 7→ det ∂u
∂u
1
2
A+
{
(
∂
(W, ϕ) ∈ A; det
(w),
∂u1
{
(
∂
=
(W, ϕ) ∈ A; det
(w),
∂u1
=
schwindet. Sei R : R2 → R2 , (x, y) →
7 (y, x) die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, dann hat jede
Karte (W̃ , ϕ̃) des Atlas
à := A+ ∪ {(W, R ◦ ϕ); (W, ϕ) ∈ A− }
(
)
∂
∂
von S die Eigenschaft det ∂u
(w),
(w),
N
(w)
> 0 für alle w ∈ W̃ (siehe (2)). Somit ist à nach (4) der in
∂u2
1
(ii) geforderte Atlas.
(ii) ⇒ (i) : Der (Atlas A = {(W
dass für alle i, j ∈ I und alle x ∈
) i , ϕi )}i∈I von S habe die Eigenschaft,
−1
ϕi (Wi ∩ Wj ) det Dx (ϕj ◦ ϕ−1
eine lokale Parametrisierung von S ist
i ) > 0 gilt. Wir erinnern uns, dass ϕi
(siehe Aufgabe 1). Für jedes i ∈ I betrachten wir nun die glatte Abbildung
Ni : Wi → R3 ,
w 7→
∂
∂u1 (w)
∂
|| ∂u
(w)
1
×
×
∂
∂u2 (w)
∂
∂u2 (w)||
∂
∂
(vgl. Skript S. 49), wobei ∂u
(w) und ∂u
(w) die Koordinatenvektorfelder von (Wi , ϕi ) sind. Wegen der in (ii)
1
2
geforderten Eigenschaft von A ist die Abbildung
N : S → R3 , p 7→ Ni (p), wenn p ∈ Wi ,
wohldefiniert (siehe (3)) und ein glattes Einheitsnormalenvektorfeld. Somit ist S orientierbar.