Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis

Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
Institut für Angewandte Mathematik
Prof. Dr. A. Marciniak-Czochra
Wintersemester 2014/2015
15.10.2014
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung
Funktionalanalysis
Die maximale Punktzahl für jede Übungsaufgabe ist 10 Punkte.
Aufgabe 1.1 (Produkttopologie)
Seien (X, O) und (Y, O0 ) zwei topologische Räume. Zeigen Sie:
[
O00 := {Ω ⊂ X × Y |Ω =
Ωi × Ω0i mit Ωi ∈ O und Ω0i ∈ O0 },
i∈I
ist eine Topologie auf X × Y .
Aufgabe 1.2 (Kodierungstheorie)
Sei F ein endlicher Körper und x, y ∈ F (n) . Definiere die ’Zählmetrik’ d(x, y) als die Anzahl
an Koeffizienten der kanonischen Einheitsvektoren, in denen sich x und y unterscheiden,
z.B.
(5)
d(01110, 11001) = 4,
(4)
d(0212, 1110) = 3.
in F2
in F3
Zeigen Sie, dass (F (n) , d) ein metrischer Raum ist.
Aufgabe 1.3 (Metriken und Abschluss)
Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel für folgende Aussage:
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt für beliebiges x ∈ X und > 0,
{y ∈ X|d(x, y) < }
(X,d)
= {y ∈ X|d(x, y) ≤ },
wobei wir für A ⊂ X definieren:
A
(X,d)
:= {y ∈ X|∃(an )n∈N ⊂A limn→∞ d(an , y) = 0}.
Aufgabe 1.4 (Nicht-normierbarer metrischer Raum)
P
Sei X = {(xk )k∈N : xk ∈ R} und d((xk ), (yk )) = ∞
k=1
1 |xk −yk |
.
2k 1+|xk −yk |
a) Zeigen Sie, dass (X, d) ein metrischer Raum ist.
b) Sei x : N → X eine Folge in X. Zeigen Sie, dass d(xj , 0) → 0 äquivalent ist zu xji → 0
∀i ∈ N.
Abgabe bis Freitag, 24.10.2014 09:15 Uhr im Kasten im Foyer der Angewandten Mathematik
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