Analysis 1

Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Simone Warzel
Dr. Carl-Friedrich Kreiner
Technische Universität München
WS 2010/11
Blatt 5
Analysis 1
Zentralübungsaufgaben
(Besprechung in der Zentralübung vom 19.11.2010)
Z 42. Sei p ∈ N, p ≥ 2. Zeigen Sie:
(a) Zu jedem x ∈ [0, 1] gibt es eine Folge (αk )k∈N mit αk ∈ {0, 1, . . . , p − 1} mit der Eigenschaft,
dass für alle n ∈ N
n
X
1
αk
0 ≤ x−
≤ n.
p
pk
k=1
(b) Zu jeder Folge (αk )k∈N mit αk ∈ {0, 1, . . . , p − 1} gibt es eine reelle Zahl x ∈ [0, 1] mit
n
X
ak
lim
n→∞
= x.
pk
k=1
Bemerkung: Für p = 2 spricht man von der Binärentwicklung, für p = 3 von der Ternärentwicklung, für p = 10 von der Dezimalbruchentwicklung und allgemein von der p-adischen Entwicklung.
Z 43. (a) Sei A eine abzählbare Menge und M ⊂ A. Zeigen Sie, dass M abzählbar ist.
(b) Sei zu jedem n ∈ N eine abzählbare Menge Xn gegeben. Zeigen Sie, dass die Menge
∞
[
X :=
Xn
n=1
abzählbar ist.
(c) Folgern Sie aus (b) einen weiteren Beweis dafür, dass Q abzählbar ist.
Tutoraufgaben
(Besprechung im Zeitraum vom 19.11.–23.11.2010)
T 44. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass (an )n∈N genau dann gegen a ∈ M konvergiert,
wenn die Folge d(an , a) n∈N in R gegen Null konvergiert.
T 45. Sei f : R → [−1, 1] gegeben durch
f (x) :=
Zeigen Sie:


1,
x = ∞,
x ∈ R,

−1,
x = −∞.
√ x
,
 1+x2
(a) f ist bijektiv.
(b) Durch d(x, y) := |f (x) − f (y)| wird auf R eine Metrik definiert.
(c) Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen konvergiert genau dann (evtl. uneigentlich) gegen a ∈ R,
wenn
lim d(an , a) = 0.
n→∞
T 46. Sei x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie: Wenn x zwei Dezimalbruchentwicklungen (xn )n∈N und (yn )n∈N besitzt,
n
X
σk
xn =
10k
und
k=1
n
X
τk
yn =
10k
k=1
mit der Eigenschaft, dass σk 6= τk für mindestens ein k ∈ N, dann sind entweder fast alle σk = 0
und fast alle τk = 9 oder umgekehrt.
bitte wenden
T 47. Mit A0 := [0, 1] wird rekursiv durch An+1 := 13 An ∪ 13 (An + {2}) für jedes n ∈ N eine Teilmenge
An ⊂ [0, 1] definiert. Man setzt
∞
\
C :=
An
n=0
und bezeichnet diese Menge C als das Cantorsche Diskontinuum. Zeigen Sie:
(a) C ist gleichmächtig mit [0, 1] und damit überabzählbar.
(b) Für jedes a ∈ [0, 1] und für jedes ε > 0 ist Uε (a) keine Teilmenge von C.
Hausaufgaben
(Abgabe bis 25.11.2010, 14:10 Uhr, Briefkasten im MI-Untergeschoss)
H 48. Untersuchen Sie, ob die folgenden Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N in (C, | · |) konvergieren und
bestimmen Sie ggf. ihren jeweiligen Grenzwert:
2010
Y
k
3 + 4i n
,
bn =
iz +
(z ∈ C fest).
an =
5
n
k=1
und d∞ :
× Rn → R definiert durch
n
o
d∞ (x, y) = max |x(j) − y (j) | | j = 1, 2, . . . n .
H 49. Sei d die euklidische Metrik auf
Rn
Rn
Zeigen Sie:
(a) (Rn , d∞ ) ist ein metrischer Raum.
(b) Eine vektorwertige Folge (ak )k∈N konvergiert in (Rn , d) genau dann, wenn sie in (Rn , d∞ )
konvergiert.
H 50. (a) Zeigen Sie, dass (0, 1) := {x ∈ R | 0 < x < 1} und [0, 1] gleichmächtig sind.
(b) Zeigen Sie, dass (0, 1) und R gleichmächtig sind, und folgern Sie, dass auch das Cantorsche
Diskontinuum C mit R gleichmächtig ist.
(
)
n
H 51. Sei
X
k
A := x ∈ R | ∃ n ∈ N, a0 , a1 , . . . an ∈ Z, an 6= 0 :
ak x = 0
k=0
die Menge der algebraischen Zahlen, d.h. die Menge derjenigen reellen Zahlen, die eine Nullstelle
eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind. (Der Grad n des Polynoms ist nicht festgelegt, d.h. für verschiedene x ∈ A dürfen die entsprechenden Polynome einen verschiedenen Grad
haben.)
Zeigen Sie, dass A abzählbar ist. Dabei dürfen Sie ohne Beweis verwenden, dass ein Polynom vom
Grad n höchstens
P n verschiedene reelle Nullstellen besitzt, d.h. dass für a0 , . . . an ∈ R, an 6= 0,
die Gleichung nk=0 ak xk = 0 höchstens n verschiedene reelle Lösungen besitzt.
Bemerkung: Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, nennt man transzendent. Es gibt demnach überabzählbar viele transzendente Zahlen. Die wohl bekanntesten transzendenten Zahlen sind π und e.
H 52. Sei d : C × C → R definiert durch
(
|z − w|,
d(z, w) =
|z| + |w|,
z = λw für ein λ ∈ R,
andernfalls.
(a) Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf C definiert.
(b) Skizzieren Sie für z = 0, z = i und z = −2 die 1-Umgebungen U1 (z) = {w ∈ C|d(z, w) < 1}.
(c) Finden Sie eine Folge (an )n∈N komplexer Zahlen, die in C bezüglich der üblichen euklidischen
Metrik konvergiert, die aber im metrischen Raum (C, d) nicht konvergiert.
Aktuelle Informationen zu Vorlesung und Übungen finden Sie unter:
http://www.ma.tum.de/LM/An1WiSe1011/