Ubungen zu Analysis 1, 8. ¨Ubung 1. 12. 09

Übungen zu Analysis 1, 8. Übung 1. 12. 09)
P
2
1. Sein (zn ) und (wn ) zwei Folgen von komplexen Zahlen, sodass ∞
n=1 |zn | und
P∞
2
n=1 |wn | konvergieren.
P
P∞
2
Man zeige, dass dann ∞
n=1 zn wn absolut konvergiert und
n=1 |zn + wn | konvergiert, und dass
2 

 ∞
∞
∞
X

 X
X
zn wn ≤  |zn |2   |wn |2 
n=1
n=1
n=1
und dass
 21  ∞
∞
1  ∞
 21

X

X 2  2 X
2
2
 |zn + wn |  ≤  |zn |  +  |wn |  .
n=1
n=1
n=1
P
2
Bezeichne nun ` die Menge aller Folgen (zn ), sodass ∞
n=1 |zn | konvergiert, dann
2
zeige man unter Verwendung obiger Ungleichung, dass (` , d) ein metrischer
P
2 12
Raum ist, wobei d((zn ), (wn )) := ( ∞
n=1 |zn − wn | ) .
2
Bemerkung: `2 ist auch ein Vektorraum über dem Körper C, und (`2 , d) ist ein
vollständig metrischer Raum.
2. Man zeige mit Hilfe der Resultate über die Multiplikation von absolut konvergenten Reihen, dass für |z| < 1
∞
X
(n + 1)zn = (1 − z)−2 .
n=0
3. Man untersuche ob folgende Reihen absolut konvergieren, und berechnen gegebenenfalls ihren Grenzwert:
!
∞
∞
X
X
1
1
(−1)n
,
+ n .
n(n + 1)(n + 2) n=0 2n
2
n=1
4. Man zeige, dass ein festes C > 0 existiert, sodass die Abschätzung
J X
∞
X
1
≤ C
jk j=2 k=2
für beliebiges J ∈ N gilt. Weiters zeige man damit, dass man den Satz 3.9.10 im
Skriptum anwenden kann. Berechne
∞
X
1
.
jk
j,k=2
5. Für p ∈ N sei M p der Raum aller Funktionen ϕ von {1, 2, . . . , p} nach R, die
Pp
i=1 ϕ(i) = 0 erfüllen. Für 1 ≤ i, j ≤ p seien reelle Zahlen ri, j > 0 gegeben.
Zeigen Sie, dass durch
d(ϕ1 , ϕ2 ) := inf
(X
p X
p
ri, j |Ψi, j | : Ψi, j = −Ψ j,i ∈ R ∀i, j ≤ p, und
i=1 j=1
∀i ≤ p gilt
p
X
)
Ψi, j = ϕ1 (i) − ϕ2 (i)
j=1
eine Metrik auf M p gegeben ist.
Bezeichnet ϕ(i) die Produktion am Ort i ( = Konsumation für negatives ϕ(i)) und
ri, j die Transportkosten pro Einheit von i nach j, so kann man d(ϕ1 , ϕ2 )/2 als die
minimalen Transportkosten bei Produktion ϕ1 (i) und Konsumation ϕ2 (i) an den
Orten i, i = 1, 2, . . . , p interpretieren. Warum?
Hinweis: Um zu sehen, dass die Menge über die das Infimum gebildet wird nicht
leer ist zeige man dass die Wahl Ψi,1 = −Ψ1,i = ϕ1 (i) − ϕ2 (i), Ψi, j = 0 für i , 1
und j , 1 zulässig ist.
6. Sei ähnlich zum ersten Beispiel M der Raum aller Funktionen ϕ von N nach R,
P
P∞
für die die Reihe ∞
i=1 ϕ(i) absolut konvergiert mit
i=1 ϕ(i) = 0. Für i, j ∈ N
seien reelle Zahlen ri, j mit M > ri, j > m > 0 gegeben.
Zeigen Sie, dass durch
(X
∞
∞ X
∞
X
Ψi, j ist absolut konvergent,
ri, j |Ψi, j | : Ψi, j = −Ψ j,i ,
d(ϕ1 , ϕ2 ) := inf
i, j=1
i=1 j=1
∀i gilt
∞
X
)
Ψi, j = ϕ1 (i) − ϕ2 (i)
j=1
eine Metrik auf M gegeben ist.
7. Für α ∈ R sei α0 = 1, und für k ∈ N sei
!
α
α(α − 1) · · · (α − k + 1)
=
.
k
k!
Man zeige, dass die Reihe (|z| < 1)
!
∞
X
α k
B(z, α) =
z
k
k=0
konvergiert. Wie ist das Konvergenzverhalten, wenn |z| > 1?
Hinweis: Unterscheiden Sie α ∈ N ∪ {0} und α < N ∪ {0}, und betrachten Sie für
die letzte Frage jeweils die Folge der Summanden. Ist diese eine Nullfolge?
8. Man verwende (siehe unten)
! X
!
!
k
α+β
α β
=
,
k
j k− j
j=0
um zu zeigen, dass die obige Reihe (|z| < 1) der Gleichung
B(z, α)B(z, β) = B(z, α + β)
genügt.
9. Für |x| < 1 zeige man, dass B(x, α) = (1 + x)α , zuerst für α ∈ N, dann für
α = 1p , p ∈ N, und dann für α ∈ Q.
Um
!
!
! X
k
α β
α+β
=
j k− j
k
j=0
(1)
zu zeigen, zeigen wir diese Gleichung zunächst für α, β ∈ N und k = 0, . . . , α + β.
P
k
α
β
α+β
Dazu betrachte man das Polynom α+β
, welches
k=0 bk x = (1 + x) (1 + x) − (1 + x)
klarerweise identisch gleich Null ist für alle x ∈ R. Somit müssen auch alle Koeffizienten bk verschwinden.
Multipliziert man dieses Polynom mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes aus, so
erhält man
!
!
!
k
X
α+β
α β
.
−
0 = bk =
k
j k− j
j=0
Für α, β ∈ N und k ∈ Z \ {0, . . . , α + β} sind beide Seiten von (1) Null.
Nun sei
!
!
!
k
α+β X α β
.
−
F(α, β) =
j k− j
k
j=0
Man halte α ∈ N fest, und betrachte das Polynom F(α, x), welches einen Grad
kleiner oder gleich k hat. Weiters wissen wir, dass dieses Polynom Nullstellen bei
x = 1, 2, 3, . . . hat, denn für α, β ∈ N haben wir (1) schon gezeigt. Nun kann ein
Polynom, das nicht das Nullpolynom ist, höchstens Grad viele Nullstellen haben. Also
ist F(α, x) = 0 für alle x ∈ R.
Nun halte man β ∈ R fest, und schließe wie eben von F(x, β) = 0 für x = 1, 2, 3, . . .
auf F(x, β) = 0 für alle x ∈ R.
Also haben wir (1) gezeigt.