(n2 · n!) ≥ 2N2 + 3N

Ungleichungen Ausarbeitungsbeispiele
Raach 2010
Birgit Vera Schmidt
A1. Man zeige für alle N ∈ Z+ :
N
X
n=1
2N 2 + 3N + 1
n2 · n! ≥
·
6
N
X
!
n!
n=1
A2. Man bestimme alle a ∈ R+ , für die gilt:
a a2
an−1
an
a a2
an−1 an
+
+ ··· +
+
≥ +
+ ··· +
+
1
2
n−1
n
2
3
n
1
Für welche a gilt Gleichheit, und für welche gilt die Ungleichung mit umgekehrtem Ungleichheitszeichen?
A3. Man zeige für alle k, a, b ∈ R, a ≥ b ≥ 0:
√
√
a2 + k 2 − b 2 + k 2 ≤ a − b
A4. Man zeige für alle a, b, c, d ∈ R+ :
1
1
1
1
a+b+c+d
≤ 3+ 3+ 3+ 3
abcd
a
b
c
d
A5. Man zeige für alle a, b, c ∈ R+ , abc = 1:
1
1
3
1
+ 3
+ 3
≥
+ c) b (c + a) c (a + b)
2
a3 (b
A6. Man zeige für alle n ∈ Z+
>1 :
1
1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)
≤√
2 · 4 · 6 · . . . · 2n
2n + 1
A7. Sei n ≥ 2. Man finde die kleinstmögliche Konstante C sodass für alle nicht-negativen reellen
Zahlen x1 , . . . , xn gilt:
!4
n
X
X
xi xj (x2i + x2j ) ≤ C ·
xi
1≤i<j≤n
i=1
A8. Für eine natürliche Zahl n und Zahlen a1 , · · · an , b1 , · · · , bn ∈ [1, 2] mit a21 +· · ·+a2n = b21 +· · ·+b2n
zeige man:
a3
17 2
a31
+ ··· + n ≤
a1 + · · · + a2n
b1
bn
10
A9. Man zeige für alle a, b, c ∈ R+ :
1
1
1
3
+
+
≥
a(1 + b) b(1 + c) c(1 + a)
1 + abc
Wann gilt Gleichheit?
A10. Man zeige für alle k, a, b ∈ R, a ≥ b ≥ 0, n ∈ Z+ :
√
√
n
n
an + k 2 − b n + k 2 ≤ a − b