Ubungsblatt 11 - Mathematisches Institut Heidelberg

Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. Hendrik Kasten
Peter Gräf
1. Juli 2015
Einführung in die Geometrie – Übungsblatt 11
Sommersemester 2015
Aufgabe 1
(6 Punkte)
Sei 4ABC ein Dreieck in der euklidischen Standardebene E mit Winkelgrößen (α, β, γ) und
Seitenlängen (a, b, c) . Man beweise die Formel
tan( 12 (α + β))
a+b
=
.
a−b
tan( 21 (α − β))
Hinweis: Es dürfen ohne Beweis die bekannten Additionstheoreme des Sinus und Kosinus verwendet werden.
Aufgabe 2
(3+3 Punkte)
Sei 4ABC ein Dreieck in der euklidischen Standardebene E mit Winkelgrößen (α, β, γ) und
Seitenlängen (a, b, c) . Sei U = 12 (a+b+c) der halbe Umfang von 4ABC sowie F = 12 ab·sin(γ)
der Flächeninhalt von 4ABC .
(a) Man zeige: F 2 = U · (U − a) · (U − b) · (U − c) .
(b) Man folgere aus (a), dass
F ≤
1
√ (a + b + c)2 .
12 3
Hierbei gilt Gleichheit genau dann, wenn 4ABC gleichseitig ist.
Hinweis: Es darf ohne Beweis die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen
Mittel verwendet werden.
Aufgabe 3
(6 Punkte)
Sei 4ABC ein rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Standardebene E mit Winkelgrößen
(α, β, π2 ) und ganzzahligen Seitenlängen (a, b, c) ∈ Z × Z × Z . Man zeige, dass dann 60 | abc
gilt.
Hinweis: Man zeige die Teilbarkeit von abc durch 3 , 4 und 5 getrennt.
Aufgabe 4
(6 Punkte)
Man zeige, dass es in der euklidischen Standardebene E kein gleichseitiges Dreieck 4ABC mit
Eckpunkten A, B, C ∈ Z2 gibt.
Hinweis: Man zeige induktiv, dass ansonsten die quadrierten Seitenlängen durch eine beliebig
große Potenz von 4 teilbar sein müssten.
Abgabe: Bis Mittwoch, den 8. Juli 2015, bis spätestens um 13 Uhr s. t. in die Tutorenbriefkästen
rechts neben HS 6.