2011-12 MatheKalender Lösungen - Aldegrever

Quadratzahlen
Michel möchte alle Zahlen von 1 bis 15 so in die 15 Kästchen schreiben, dass die Summe von jedem Paar benachbarter Zahlen eine
Quadratzahl ergibt.
Beispiel: Stehen im 3., 4. und 5. Kästchen die Zahlen 10, 6 und 3, so
ist für das vierte Kästchen die Bedingung erfüllt:
10 + 6 = 16 und 6 + 3 = 9 sind Quadratzahlen.
a) Welche vier Quadratzahlen kommen für die Summe benachbarter
Zahlen nur in Frage?
b) Welche der Zahlen von 1 bis 15 können nur durch eine einzige andere Zahl zu einer Quadratzahl ergänzt werden?
c) Zeige, dass es für Michel nur zwei verschiedene Möglichkeiten gibt,
die Zahlen mit der oben genannten Bedingung einzutragen.
Mai 2012
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Sa
So
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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22
23
24
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28
29
30
31
Lösungen:
a) Welche vier Quadratzahlen kommen für die Summe
benachbarter Zahlen nur in Frage?
Minimale Summe der Zahlen von 1 –15: 1+2 = 3
Maximale Summe der Zahlen von 1 –15: 14+15 = 29
Quadratzahlen zwischen 3 und 29: 4, 9, 16 und 25
b) Welche der Zahlen von 1 bis 15 können nur durch eine
einzige andere Zahl zu einer Quadratzahl ergänzt werden?
8 und 9
1 2 3 4 5 6 7
3 7 1 5 4 3 2
8 14 6 12 11 10 9
15
13
8
1
9 10 11 12 13 14 15
7 6 5 4 3 2 1
15 14 13 12 11 10
c) Zeige, dass es für Michel nur zwei verschiedene
Möglichkeiten gibt, die Zahlen mit der oben genannten
Bedingung einzutragen.
Da 8 und 9 nur durch eine einzige andere Zahl zu einer
Quadratzahl ergänzt werden können, müssen diese Zahlen
am Anfang und am Ende stehen.
8
1
15 10 6
3 13 12
9
7
2 14 11
5
4
4
5
12 13 3
11 14 2
6
7
9
10 15 1
8