Mathematisches Institut der Universität München Helmut

Mathematisches Institut
der Universität München
Helmut Schwichtenberg
Sommersemester 2010
Blatt 9
Übungen zur Vorlesung “Mathematische Logik II”
Aufgabe 33. Man beweise
(a) αβ ∈ On.
(b) 0β = 0, 1β = 1.
(c) 1 < α → β < γ → αβ < αγ .
(d) Es gibt α, β, γ mit 1 < γ und 1 < α < β, aber αγ 6< β γ .
(e) α ≤ β → αγ ≤ β γ .
Aufgabe 34. Man beweise
(a) Sind 1 < α und β Limeszahl, so auch αβ .
(b) αβ+γ = αβ αγ .
(c) αβγ = (αβ )γ .
(d) 1 < α → β ≤ αβ .
Aufgabe 35. Es sei U eine nicht leere Menge und Γ : P(U ) → P(U ) ein
monotoner Operator (s. Aufgabe 28a auf Blatt 7). Man definiere Γ↑α mittels
transfiniter Rekursion:
Γ↑0
:= ∅,
Γ↑(α + 1) := Γ(Γ↑α),
[
Γ↑λ
:=
Γ↑α
für λ Limeszahl.
α<λ
Man zeige
(a) Γ↑α ⊆ Γ↑(α + 1) für alle α.
(b) Gilt Γ↑α = Γ↑(α + 1), so folgt Γ↑(α + β) = Γ↑α für alle β.
(c) Es ist Γ↑α = Γ↑(α + 1) für ein α mit |α| ≤ |U |.
Aufgabe 36. Mit (DC) bezeichnen wir folgende Aussage: “Es sei M eine
Menge und R eine zweistellige Relation auf M . Für jedes x ∈ M gebe es
ein y ∈ M mit yRx. Dann gibt es zu jedem x0 ∈ M ein f : ω → M mit
f (0) = x0 und f (n + 1)Rf (n) für alle n ∈ ω”. Man beweise mit Hilfe von
(DC):
(a) (ACω ).
(b) Es sei M eine Menge und R eine zweistellige Relation auf M . Dann
ist R genau dann fundiert auf M , wenn es kein f : ω → M gibt mit
f (n + 1)Rf (n) für alle n ∈ ω.
Abgabe. Mittwoch, 30. Juni 2010, in der Vorlesung.