Beweise ohne Worte
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Beweise Beweiseohne ohneWorte Worte 2 2 2 1. 1.Die Diebinomische binomischeFormel: Formel:(a (a++b) b)2 ==aa2 ++2ab 2ab++bb 2 a b b b a a a b © Beutelspacher Februar 2005 Seite 2 Beweise ohne Worte Seite 1 1 2. 2.Die DieUngleichung Ungleichungzwischen zwischengeom. geom. und undarithm. arithm.Mittel Mittel a b 4ab ≤ (a + b) 2 b (a + b) 4 a+b ab ≤ 2 ⇒ ab ≤ r ⇒ a 2 © Beutelspacher Februar 2005 Seite 3 Beweise ohne Worte 2 11++33++55++… …++(2n–1) (2n–1)==nn 2 Die DieSumme Summeder derersten ersten nn 2 ungeraden Zahlen ungeraden Zahlenist ist nn2.. © Beutelspacher Februar 2005 Seite 4 Beweise ohne Worte Seite 2 2 Winkelsumme Winkelsummeim imPentagramm Pentagramm © Beutelspacher Februar 2005 Seite 5 Beweise ohne Worte 5. 5.Eine EineBeobachtung Beobachtungvon vonGalilei Galilei 1+ 3 1 = 5+7 3 1+ 3 + 5 1 = 7 + 9 + 11 3 1+ 3 +5 + 7 1 = 9 + 11 + 13 + 15 3 usw. Allgemein : Summe der ersten n ungeraden Zahlen 1 = Summe der nächsten n ungeraden Zahlen 3 © Beutelspacher Februar 2005 Seite 6 Beweise ohne Worte Seite 3 3 Galilei: Galilei:Beweis Beweis Summe Summeder derersten ersten nnungeraden ungeradenZahlen Zahlen Summe Summeder dernächsten nächsten nnungeraden ungeradenZahlen Zahlen © Beutelspacher Februar 2005 Seite 7 Beweise ohne Worte xx ++ 1/x 1/x≥≥ 22 x 1/x 2 (x (x++1/x) 1/x)2==Fläche Flächedes desQuadrats Quadrats ≥≥Fläche Flächeder derRechtecke Rechtecke==11++11++11++11 ⇒ ⇒ xx++1/x 1/x≥≥22 (für (für xx>>0). 0). © Beutelspacher Februar 2005 Seite 8 Beweise ohne Worte Seite 4 4
