Mathematische Beweise

DEUTSCH-TASCHENBÜCHER
Nr. 25
Mathematische Beweise
von
DR. RÜDIGER T H I E L E
2., bearbeitete Auflage
Mit 67 Abbildungen
VERLAG HARRI DEUTSCH
T H U N • FRANKFURT/MAIN
19 81
INHALT
1.
1.1.
1.2.
1.3.
Einleitung
Wodurch läßt sich die Mathematik charakterisieren?
Sind Beweise nötig?
Die Strenge der Beweise
7
7
8
18
2.
Collegium logicum
2.1.
Die Rolle der formalen Logik in der Mathematik . . .
2.2.
Aussagen
2.3.
Aussagenverbindungen
2.3.1. Die Negation: nicht A
2.3.2. Die Konjunktion: A und B
2.3.3. Die Disjunktion: A oder B
2.3.4. Beziehungen zur Schaltalgebra
2.3.5. Die Implikation: A-s-B
2.3.6. Die Umkehrung der Implikation (Konversion)
2.3.7. Die Äquivalenz: A <-* B
2.4.
Logische Gesetze (Tautologien)
2.5.
Wichtige logische Schlußregeln . :
2.6.
Logisches Schließen (Aussagenlogik)
2.7.
Eine Schlußweise, die nicht zur Aussagenlogik gehört
2.8.
Aussagenfunktionen
2.9.
Verbinden, von Aussagenfunktionen
•
2.10. Beziehungen zur Mengenalgebra
.
2.11. Quantifizierungen
2.12. Logisches Schließen (Prädikatenlogik)
2.13. Mathematische Sätze
2.13.1. Folgerungen in der Mathematik
2.13.2. Sätze und ihre Umkehrungen
2.13.3. Geschlossene Systeme von Sätzen
2.13.4. Notwendige und hinreichende Bedingungen
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3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.4.1.
3.4.2.
3.5.
3.6.
3.6.1.
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76
81
81
Die axiomatische Methode
Beweise
Das Musterbeispiel: der geometrische Beweis
Der axiomatische Aufbau
Zwei Beispiele für ein Axiomensystem
Axiomensystem von Peano für die natürlichen Zahlen
Ein Axiomensystem für die Gruppentheorie
Neue Auffassungen eines Axiomensystems
Forderungen an ein Axiomensystem
Widerspruchsfreiheit
Inhalt
3.6.2.
3.6.3.
3.7.
3.8.
3.9.
Vollständigkeit
Unabhängigkeit
Grundlagenfragen
Lyrischer Exkurs: Hommage ä Gödel
Die axiomatische Methode außerhalb der Mathematik
5
82
83
86
93
94
4.
~- Beweise
4.1.
Direkte Beweise
4.2.
Der Rückschluß
4.3.
Indirekte Beweise
4.3.1. Reductio ad absurdum
4.3.2. Indirekte Beweise für Implikationen
4.4.
Fallunterscheidungen
4.5.
Gegenbeispiele
96
96
100
105
108
110
113
117
5.
5.1.
5.1.1.
5.1.2.
5.2.
5.3.
Einige typische mathematische Beweise
Existenzbeweise
Das Schubkastenprinzip
Der Intuitionismus
'.....•
Unmöglichkeitsbeweise
Eindeutigkeitsbeweise
•.
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128
6.
Die Induktion als Beispiel für charakteristische
Schlußweisen mathematischer Disziplinen
132
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
Ausblick
Über Beweise
Psychologischer Exkurs
Wie finden Mathematiker Beweise?
Trugschlüsse
Worauf beruhen Trugschlüsse?
Paradoxien
139
139
143
147
154
158
160
Lösungen
164
Literatur ;
173
Sachverzeichnis
175