Prof. Dr. Klaus Deckelnick 13.04.2017 Institut für Analysis und

Prof. Dr. Klaus Deckelnick
Institut für Analysis und Numerik
19.10.2017
Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis I
Wintersemester 2017/18 - Blatt 2
(Abgabe: Aufgaben 1 - 3 am Donnerstag, den 26.10.2017 vor der Vorlesung)
1. a) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erfüllen:
(i)
1
1
<
, x 6= 0, −1;
x
x+1
(ii) |x + 1| − |x − 1| ≥ 1;
(iii) x(2 − x) ≥ 1 + |x|.
b) Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ R gilt: |xy| = |x| |y|.
(8 Punkte)
2. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion für alle n ∈ N0 :
a)
n
X
ak bn−k =
k=0
b)
n
Y
an+1 − bn+1
, a, b ∈ R, a 6= b.
a−b
n+1
k
(1 + a2 ) =
k=0
1 − a2
, a 6= 1.
1−a
(4 Punkte)
3. Zeigen Sie:
a) (1 +
1 n
) ≥ 2, n ∈ N;
n
n
b) ( )n ≥ n!, n ∈ N, n ≥ 6.
2
Tipp zu b): Arbeiten Sie mit einem Induktionsbeweis und nutzen Sie a).
4. a) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, für die gilt:
(i) |x − 1| = |x − 3|;
(ii) | |x| − 5| < 1.
b) Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ R gilt:
|x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y|.
5. a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
n
X
k=0
3
n
b) Für welche n ∈ N gilt n ≤ 2 ?
kk! = (n + 1)! − 1.
(4 Punkte)