ÜBERBLICK UND ÜBUNGSSERIE 6 ANALYSIS I – HS14 – UNIVERSITÄT BASEL PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA Wir haben folgende Kriterien für Konvergenz einer Reihe gesehen: • Notwendige Bedingung: Die Folge muss eine Nullfolge sein. • Für eine Folge mit nicht-negativen Gliedern ist die Konvergenz der Reihe äquivalent zur Beschränktheit der Folge der Partialsummen. • Leibniz: Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. • Cauchy: Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz. • Das Majorantenkriterium. • Das Quotientenkriterium. • Das Wurzelkriterium. Aufgabe 6.1. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz: X n kn , k > 0, 1 + kn X √ n n−1 2 X n + 2n , n n n! , X nn , (2n)! n X (n!)2 n 2n2 . ? Aufgabe 6.2. Es sei (an ) eine Folge. Beweisen Sie: (i) lim sup an = +∞ genau dann, wenn eine Teilfolge existiert, die gegen +∞ konvergiert. n→∞ (ii) lim sup an = −∞ genau dann, wenn die Folge gegen −∞ konvergiert. n→∞ (iii) lim sup an = L ∈ R genau dann, wenn n→∞ – ∀ε > 0 ∃N ∈ N so dass, für n > N gilt an < L + ε, – eine Teilfolge existiert, die gegen L konvergiert. Was sind die analogen Aussagen für den limes inferior? ? Aufgabe 6.3. Beweisen Sie: (i) Falls man mit dem Quotientenkriterium zeigen kann, dass eine Reihe konvergiert, so kann man dies auch mit dem Wurzelkriterium tun. 1 2 ANALYSIS I HS14 – SERIE 6 (ii) Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. (iii) Das Quotientenkriterium mit lim sup an Stelle von lim gilt nicht. Wir haben zudem Rechenregeln studiert. Aufgabe 6.4. Gegeben sind zwei komplexe Zahlen α und β. Finden Sie zwei divergente Reihen P k bk , so dass X α ak + β b k P k ak und k konvergiert. Wir haben Potenzreihen definiert, den Konvergenzradius eingeführt und für letzten Formeln (von Cauchy-Hadamard und Euler) kennengelernt. P Aufgabe 6.5. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe n an z n , wobei bn für n gerade √ 2 an = n , an = q n , q ∈ C , an = cn für n ungerade, b, c ∈ C . Aufgabe 6.6. Finden Sie eine Potenzreihe P (z) mit positivem und endlichen Konvergenzradius R und zwei Punkte z1 und z2 mit |z1 | = |z2 | = R, so dass P (z1 ) konvergiert und P (z2 ) divergiert. Die mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben sind für das Ergänzungsprogramm gedacht. Webseite: http://www.math.unibas.ch/crippa Email: [email protected] Abgabe: bis Freitag 31.10. um 12:00 Uhr