Analysis f¨ur Informatiker 4.¨Ubungsblatt

Prof. Dr. Torsten Wedhorn
Dr. Ralf Kasprowitz
Elena Fink
WS 09/10
Analysis für Informatiker
4. Übungsblatt
Abgabe: Am Donnerstag, den 12.11.09 bis 11 Uhr in grüne Briefkästen vor D1.320.
Achtung: geänderte Abgabe!
Briefkasten 109 für die Gruppen 3, 4, 5, 14, 15;
Briefkasten 110 für die Gruppen 6, 8, 11, 12;
Briefkasten 119 für die Gruppen 1, 2, 7, 9, 10, 13.
Bei jeder Aufgabe kann man 12 Punkte erreichen.
Bitte schreibt Euren Namen, Matrikelnummer und Übungsgruppe auf jede Abgabe und
heftet Eure Blätter immer zusammen.
Alle aktuellen Informationen und Übungszettel findet Ihr auf http://www2.math.unipaderborn.de/people/torsten-wedhorn/lehre/mathematik-fuer-informatiker-1.html
Aufgabe 1:
Zeige, dass die Folge (an )n∈N+ mit an = 1 +
1 n
n
monoton wachsend und beschränkt ist.
Du kannst beim Beweis wie folgt vorgehen:
Hinweis zu “monoton wachsend”: Zeige zunächst für n ≥ 2 die Abschätzung
2
n
n −1
n−1
,
>
2
n
n
und folgere daraus an−1 < an für n ≥ 2.
Hinweis zu “beschränkt”: Benutze die binomische Formel, verwende die Abschätzung 2n−1 ≤ n! für
n ≥ 2 (der Beweis dieser Abschätzung gibt zwei Zusatzpunkte) und die geometrische Reihe (Blatt 1,
Aufgabe 2(c)).
Aufgabe 2:
(a) Beweise die Produktformel für Grenzwerte:
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen reeller Zahlen mit Grenzwerten a = lim an und
n→∞
b = lim bn .
n→∞
Zeige, dass die Produktfolge (an · bn )n∈N konvergiert, und dass lim (an · bn ) = a · b.
n→∞
(b) Bestimme den Grenzwert der Folge (an )n∈N+ , wobei an =
1+2+...+n
.
n2
Aufgabe 3:
Seien a > 0 und x0 > 0 reelle Zahlen, und sei die Folge (xn )n∈N rekursiv definiert wie folgt:
1
a
xn+1 =
xn +
.
2
xn
√
Unser Ziel ist zu zeigen, dass diese Folge gegen a konvergiert. Das machen wir in folgenden Schritten.
(a) Zeige mit vollständiger Induktion dass xn > 0 für alle n ∈ N gilt.
(b) Zeige, dass für n ≥ 1 gilt: xn+1 ≤ xn .
(c) Zeige, dass für ein 0 < b ∈ R mit b2 ≤ a gilt: xn ≥ b für n ≥ 1.
(d) Folgere, dass die Folge (xn )n∈N einen Grenzwert lim xn = x > 0 besitzt.
n→∞
√
(e) Zeige, dass x die Gleichung x2 = a erfüllt, das heißt lim xn = a.
n→∞
Hinweis zu (e): Es gilt lim xn = x = lim xn+1 .
n→∞
n→∞
Aufgabe 4:
Die Beweise der folgenden Aussagen könnten falsch sein. Finde alle vorhandenen Fehler der Beweise und begründe an jeder Stelle, warum dies ein Fehler ist. Entscheide außerdem, ob die jeweilige
Aussage richtig ist und gib gegebenenfalls einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(1) Behauptung: Für alle n ∈ N ist (2n + 1) gerade.
Beweis durch Induktion nach n ∈ N: 2(n + 1) + 1 = 2n + 3 = (2n + 1) + 2 ist nach Induktionsvoraussetzung für n eine Summe zweier geraden Zahlen, also selber gerade.
(2) Seien A, B ⊆ R nach oben beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen, und definiere
A · B := {x · y | x ∈ A, y ∈ B}.
Behauptung: Die Menge A·B ist nach oben beschränkt, und es gilt: sup(A·B) = sup(A)·sup(B).
Beweis:
Setze a := sup(A), b := sup(B).
⇐⇒ x ≤ a für alle x ∈ A und y ≤ b für alle y ∈ B.
=⇒ x · y ≤ a · b ∀x ∈ A, y ∈ B.
=⇒ sup(A · B) = a · b = sup(A) · sup(B).
(3) Behauptung: Sei (an )n∈N eine Folge, die gegen 0 konvergiert (solche Folgen nennt man auch
Nullfolgen), und sei c ∈ R. Dann konvergiert die Folge (an + c)n∈N gegen c.
Beweis:
(an )n∈N Nullfolge =⇒ ∃N ∈ N, > 0 mit |an | < ∀n ≥ N.
=⇒ |an + c − c| = |(an + c) − c| < ∀n ≥ N.
Also konvergiert (an + c)n∈N gegen c.