Institut für Mathematik, Universität Zürich Prof. E. Bolthausen 9. Aufgabenblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie Abgabe in der 47. Kalenderwoche in den Übungen. Aufgabe 33 Sei (an )n∈N0 ⊂ R eine beschränkte Folge reeller Zahlen, und seien n , n ∈ N0 , unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen auf (Ω, F, P) mit P(n = ±1) = 1/2. def P Setze Xn = nk=0 k ak , Fn = σ(Xk : 0 ≤ k ≤ n). P 2 (a) Zeigen Sie, dass Xn in L2 konvergiert genau dann wenn ∞ k=0 ak < ∞. def (b) Berechnen Sie den Varianz-Prozess von Xn , hXin = Pn−1 k=0 E 2 Xk+1 − Xk2 |Fk . P def 2 (c) Nun gelte ∞ k=0 ak = ∞. Für c > 0 sei Tc = inf{n ≥ 0 : |Xn | ≥ c}. Zeigen Sie, dass P (Tc = ∞) = 0. def Hinweis: Wenden Sie den Stoppsatz auf das Martingal X̃n = Xn2 − hXin an. (d) Folgern Sie, dass unter den Bedingungen von (c) Xn und −∞ oszilliert. P-fast sicher zwischen +∞ Aufgabe 34 Sei {Xn }n∈N ein Martingal auf (Ω, F, P) mit gleichmäßig in L1 beschränkten Inkrementen, d.h. es existiert Y ∈ L1 mit |Xn+1 − Xn | ≤ Y für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass für P-fast alle ω ∈ Ω entweder lim Xn (ω) ∈ R n→∞ existiert, d.h. {Xn (ω)} konvergiert, oder lim sup Xn (ω) = +∞ und lim inf Xn (ω) = −∞, n→∞ n→∞ d.h. {Xn (ω)} oszilliert unbeschränkt. Aufgabe 35 Seien ξn , n ∈ N, unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen auf def (Ω, F, P) mit P(ξ1 = 1) = p, P(ξ1 = −1) = 1 − p für ein 0 < p < 1. Setze S0 = 0 und def Sn = ξ1 + . . . + ξn . Zeigen Sie: (a) Ist p = 1/2 (d.h. Sn ist die symmetrische Irrfahrt auf Z), dann gilt P lim sup Sn = ∞ und lim inf Sn = −∞ = 1. n→∞ n→∞ (b) Ist p > 1/2, dann gilt P lim Sn = ∞ = 1. n→∞ Aufgabe 36 Sei {Fn }n∈N0 eine Filtrierung auf (Ω, F, P), und sei An ∈ Fn , n ≥ 1. Beweisen Sie unter Benutzung von Aufgabe 34, dass für P-fast alle ω ∈ Ω gilt ω ∈ lim sup An n→∞ genau dann wenn ∞ X n=1 P (An|Fn−1) (ω) = ∞.