Analysis I für M, LaG/M, Ph Ferien-Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph
Ferien-Übungsblatt
Fachbereich Mathematik
Dr. Robert Haller-Dintelmann
David Bücher
Christian Brandenburg
Sommersemester 2010
Ferienübung
Aufgabe F1
Bestimmen Sie alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f : R → R, für welche f 0 = f gilt.
Hinweis: Betrachten Sie g(t) := e−t f (t) und differenzieren Sie.
Aufgabe F2
Sei f : R → R eine Funktion mit | f 0 (x)| ≤ M für alle x ∈ R. Definiere
1
.
f n : R → R, f n (x) := f x +
n
Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge ( f n )n≥1 gleichmäßig gegen f konvergiert.
Aufgabe F3
Beweisen oder widerlegen Sie: Sei (an )n≥1 eine konvergente Folge rationaler Zahlen. Dann folgt aus an > 0 für alle n ≥ 1,
dass limn→∞ an > 0.
Aufgabe F4
Es seien n, m ∈ N und a0 , . . . , an , b0 , . . . , bm ∈ R mit an 6= 0 und bm 6= 0. Diskutieren Sie die Limiten
a) lim
x→∞
an x n + · · · + a1 x + a0
bm
xm
+ · · · + b1 x + b0
,
b) lim
x→−∞
an x n + · · · + a1 x + a0
bm x m + · · · + b1 x + b0
.
Aufgabe F5
Zeigen Sie, dass aus lim f (x) = L folgt, dass lim | f (x)| = |L|. Gilt auch die Umkehrung?
x→a
x→a
Aufgabe F6
P∞
Es sei (an ) ⊆ R, so dass n=0 aϕ(n) für jede streng monoton wachsende Funktion ϕ : N → N konvergiert. Zeigen Sie, dass
P∞
dann n=0 an absolut konvergiert.
Aufgabe F7
Benutzen Sie die Definition der Ableitung um folgende Funktionen zu differenzieren.
a)
f (x) = 2x,
b)
f (x) = x 2 ,
c)
f (x) = 1/x 2 .
Aufgabe F8
a) Zeigen Sie, dass die Gleichung x 5 − 3x 3 − x + 1 = 0 im Intervall [0, 2] eine Lösung besitzt.
b) Seien f , g : [a, b] → R stetige Funktionen mit f (a) ≤ g(a) und f (b) ≥ g(b). Zeigen Sie, dass es ein c ∈ [a, b] mit
f (c) = g(c) gibt.
Aufgabe F9
Es sei
a1 := 1;
an+1 :=
3an + 4
2an + 3
für n ≥ 2.
Zeigen Sie, dass (an )n≥1 konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
1
Aufgabe F10
Bestimmen Sie p, q ∈ R so, dass die Funktion f (x) = x 2 + p x + q in x = 1 ein Minimum mit f (1) = 3 hat.
Aufgabe
P F11
Sei P
n≥1 an eine absolut konvergente Reihe, und sei (bn )n≥1 eine beschränkte Folge. Zeigen Sie, dass dann auch die
Reihe n≥1 an bn absolut konvergiert.
Aufgabe F12
Sei r der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞
X
ak x k ,
k=0
und sei m ∈ N. Zeigen Sie, dass die Potenzreihe
∞
X
ak x km
k=0
den Konvergenzradius r 1/m hat.
Aufgabe F13
Wahr oder falsch? Seien f n , f , g n , g : [a, b] → R stetige Funktionen derart, dass ( f n )n≥1 gleichmäßig gegen f und (g n )n≥1
gleichmäßig gegen g konvergiert. Dann konvergiert die Funktionenfolge ( f n g n )n≥1 gleichmäßig gegen f g .
Aufgabe F14
a) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen und die Funktionen, die sie darstellen.
∞
X
i)
k x k,
ii)
k=1
∞
X
k2 x k .
k=1
b) Berechnen Sie die folgenden Summen.
i)
∞
X
k7−k ,
ii)
k=1
∞
X
k2 3−k .
k=1
Aufgabe F15
Berechnen Sie die folgenden Limiten.
a) lim
x→−1
x2 + x
x +1
,
b) lim
x→0
x2
|x|
.
Aufgabe F16
Wahr oder falsch? Ist f : (a, b) → R auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von (a, b) beschränkt, so ist f auf (a, b)
beschränkt.
Aufgabe F17 P
∞
Zeigen Sie, dass n=1 n2−n konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. Hinweis: Betrachten Sie
∞
X
n2−n −
n=1
Aufgabe F18
Bestimmen Sie für die Funktion f : R \ {0} → R, f (x) =
und beweisen Sie für das Restglied die Abschätzung
∞
X
2−n .
n=1
ex
x
das Taylorpolynom 2. Ordnung im Entwicklungspunkt x 0 = 1
|R f (x, 0)| ≤ 15e3/2 |x − 1|3 ,
x∈
1 3
,
.
2 2
2
Aufgabe F19
(a) Bestimmen Sie alle Ableitungen der Funktion
f : R \ {0} → R,
f (x) =
ex
x
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die ersten fünf Ableitungen. Faktorisieren Sie die Koeffizienten. Erkennen Sie eine
Regel? Induktionsbeweis.
(b) Berechnen Sie die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt x 0 = 1. Welchen Konvergenzradius hat sie?
Aufgabe F20
Eine Funktion f : R → R heißt unterhalbstetig in a ∈ R, wenn für jede Folge (x n )n≥1 in R mit limn→∞ x n = a gilt:
f (a) ≤ lim infn→∞ f (x n ). Sie heißt oberhalbstetig in a, wenn − f unterhalbstetig in a ist. Schließlich heißt f unterhalbstetig
(bzw. oberhalbstetig), wenn f in jedem Punkt unterhalbstetig (bzw. oberhalbstetig) ist.
a) Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen.
i) f ist unterhalbstetig.
ii) Zu jedem a ∈ R und zu jedem " > 0 gibt es eine Umgebung U von a mit f (x) > f (a) − " für jedes x ∈ U .
iii) Für jedes a ∈ R ist f −1 ((a, ∞)) offen.
iv) Für jedes a ∈ R ist f −1 ((−∞, a]) abgeschlossen.
b) Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f unterhalb- und oberhalbstetig ist.
c) Sei χA die charakteristische Funktion von A ⊂ R, d.h. es gilt χA(x) = 1 für x ∈ A und χA(x) = 0 für x ∈ R \ A. Zeigen
Sie, dass A genau dann offen ist, wenn χA unterhalbstetig ist.
Aufgabe F21
Beweisen Sie für alle x, y ∈ R, für die tan x , tan y und tan(x + y) definiert sind, das Additionstheorem des Tangens:
tan(x + y) =
tan x + tan y
1 − tan x tan y
.
Aufgabe F22
Sei A eine Teilmenge von R. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(a) A ist abgeschlossen
(b) jeder Häufungspunkt von A ist ein Element von A
(c) A = Ā
Aufgabe F23
Sei M eine Teilmenge von R. Zeigen Sie: M ist ein Intervall genau dann, wenn für alle a, b ∈ M auch schon das Intervall
[a, b] als Teilmenge in M enthalten ist.
Aufgabe F24
Es sei M ⊆ R sowohl offen, als auch abgeschlossen. Zeigen Sie, dass dann M = R oder M = ; gilt.
Aufgabe F25
Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen f : R → R, die nur endlich viele verschiedene Funktionswerte annehmen.
Aufgabe F26
Die Funktion f sei differenzierbar in [a, b] und für alle x ∈ [a, b] gelte
| f (x)| + | f 0 (x)| 6= 0.
Beweisen Sie, dass f in [a, b] nur endlich viele Nullstellen hat.
Aufgabe F27
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
(a)
x
lim x ( x ) ,
(b)
x→0+
(d)
lim
x→0
x x
lim (x ) ,
x→0+
(c)
cos x 2 − cos
lim
p
x→1
x2 − x
sin sinh(x) − sinh sin(x)
x7
p
x
.
3
Aufgabe F28
Untersuchen Sie die folgende Funktionenreihe auf punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz.
∞
X
(−1)n x 2
n=0
(1 + x 2 )n
x ∈ R.
,
Aufgabe F29
Für die drei komplexen Zahlen z1 , z2 , z3 gelte
z1 + z2 + z3 = 0
|z1 | = |z2 | = |z3 | = 1.
sowie
Zeigen Sie, dass die Punkte z1 , z2 , z3 in der Gaußschen Zahlenebene die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden.
Aufgabe F30
(a) Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass sich n Personen auf n! verschiedene Weisen in einer Reihe
aufstellen können.
(b) Zeigen Sie für k ≥ 2 und alle x 1 , . . . , x k ∈ (0, 1):
n
n
Y
X
(1 − x k ) > 1 −
xk
k=1
k=1
(c) Sei D ⊆ R ein Intervall und f , g : D → R seien n-mal differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie die Leibnizregel
( f g)(n) (x) =
n X
n
k=0
k
f (k) (x)g (n−k) (x)
für alle x ∈ D.
Aufgabe F31
Es sei f : R → R eine Funktion mit | f (x)| ≤ |x| für alle x ∈ R. Wir definieren
an := f (1/n) − f (1/(n+1)),
Konvergiert die Reihe
P∞
n=1
n ∈ N.
an ?
Aufgabe F32
p
Gegeben sei f : [−1, ∞) → R, f (x) = 1 + x . Bestimmen Sie die Taylorreihe von f um x 0 = 0, sowie deren Konvergenzradius.
Aufgabe F33
Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 in x 0 = π der Funktion
f : R → R,
f (x) = x 3 sin x.
Aufgabe F34
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
(a) x −
x3
6
≤ sin x ≤ x , x > 0
(b) ln(1 + x) ≤
x
p
,
1+x
x >0
p
(c) | sin x + cos x| ≤ 2, x ∈ R
Fertigen Sie für a) und b) eine Skizze an.
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