Wahrscheinlichkeitstheorie 1

Matrikelnummer:
Name:
Vorname:
Übung:
09.15 Uhr oder 17.15 Uhr
Abgabe am 11.06.2012
in der Vorlesung
1 2 3 4
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Übungsblatt 8
Prof. B. Kirstein
Sommersemester 2012
Aufgabe 8.1. Zeigen Sie:
Sei n ∈ N \ {1}. Es bezeichne k die Anzahl der verschiedenen Primzahlen in der Primfaktorzerlegung der Zahl n. Weiterhin sei (pj )kj=1 eine Anordnung dieser k Primzahlen
zu einer Folge. Es seien Ωn := {1, . . . , n}, An := P(Ωn ) und Pn bezeichne die diskrete
Gleichverteilung auf (Ωn , An ). Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Sei j ∈ {1, . . . , k} und bezeichne Aj,n die Menge aller Zahlen s ∈ {1, . . . , n}, welche
durch pj teilbar sind. Dann gilt Pn (Aj,n ) = p1j .
(b) Die Folge (Aj,n )kj=1 ist stochastisch unabhängig bezüglich Pn .
(c) Es bezeichne
Tk Bn die Menge aller zu n teilerfremden Zahlen aus {1, . . . , n}. Dann
gilt Bn = j=1 (Ωn \ Aj,n ) sowie
k Y
1
.
Pn (Bn ) =
1−
pj
j=1
Aufgabe 8.2. Zeigen Sie:
Es bezeichne ϕ die Eulersche Phi-Funktion. Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es ist ϕ(1) = 1.
(b) Sei n ∈ N \ {1}. Es bezeichne k die Anzahl der verschiedenen Primzahlen in der
Primfaktorzerlegung von n und es seien p1 , . . . , pk diese k Primzahlen. Dann gilt


k Y
1
.
ϕ(n) = n · 
1−
pj
j=1
1
(c) Seien n1 , n2 ∈ N so gewählt, daß n1 und n2 teilerfremd sind. Dann gilt ϕ(n1 · n2 ) =
ϕ(n1 ) · ϕ(n2 ).
Aufgabe 8.3. Zeigen Sie:
Seien p, q ∈ [0, 1] sowie
A :=
1−p
p
.
q
1−q
Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es ist A ∈ R2×2
st .
(b) Sei p = 0 und q = 0. Dann gilt A = I2 sowie lims→∞ As = I2 .
(c) Sei p = 1 und q = 1. Dann gilt A = ( 01 10 ) und für r ∈ N ist A2r = I2 und
A2r−1 = A. Somit ist die Folge (As )s∈N nicht konvergent.
(d) Sei 1 − p − q ∈ (−1, 1). Dann gilt p + q 6= 0 sowie
1
q p
s
lim A =
.
s→∞
p+q q p
Aufgabe 8.4. Zeigen Sie:
Seien n ∈ {2, 3, . . . }, a ∈ [0, 1] und b :=
1−a
n−1 .
Weiter sei

a b b ...
b a b . . .


A :=  b b a . . .
 .. .. .. . .
. . .
.
b b b ...

b
b

b
 ∈ Rn×n .
.. 
.
a
Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es ist A ∈ Rn×n
dst .
(b) Sei Fn jene Matrix aus Rn×n , deren Elemente sämtlich den Wert 1 besitzen. Weiter
sei a − b ∈ (−1, 1). Dann gilt
lim As =
s→∞
1
Fn .
n
(c) Sei a − b ∈ [1, ∞). Dann ist A = In , also insbesondere
lim As = In .
s→∞
(d) Sei a − b ∈ (−∞, −1]. Dann gilt a = 0, b = 1 und n = 2, d. h., es ist A = ( 01 10 ) und
die Folge (As )s∈N konvergiert nicht.
2