5. Aufgabenblatt - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
5. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Mittwoch, 2. Mai 2007, 13.00
Aufgabe 1 Berechnen Sie die charakteristischen Funktionen der folgenden Wahrscheinlichkeitsmasse auf ( , B):
P
λn −λ
(a) Poissonverteilung zum Parameter λ > 0, ∞
δn ;
n=0 n! e
R
(b) Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b], mit Dichte
1
b−a 1[a,b] (x);
(c) Dreiecksverteilung mit Dichte (1 − |x|)1[−1,1] (x);
(d) zweiseitige Exponentialverteilung zum Parameter α > 0, mit Dichte
R
Aufgabe 2 Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmass auf ( , B), und sei µ̂ :
stische Funktion von µ. Zeigen Sie:
(a) Für alle t ∈
R gilt |µ̂(t)| ≤ 1.
(b) Die Funktion µ̂(·) ist gleichmässig stetig auf
α −α|x|
.
2e
R → C die charakteri-
R.
Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Lebesgue.
(c) Riemann-Lebesgue-Lemma: Besitzt µ eine Dichte f :
Masses, so gilt µ̂(t) → 0 (|t| → ∞).
R → R+ bezüglich des Lebesgue-
Aufgabe 3 Es seien (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X1 , X2 ∈ L2 (Ω, F, P ) Zufallsgrössen mit den Eigenschaften, dass P (X1 > 0) = 1, P (X2 > 0) = 1, P (X1 = X2 ) < 1, sowie
dass die
Zufallsvektoren (X1 , X2 ) und (X2 , X1 ) dieselbe Verteilung haben. Zeigen Sie, dass
X1
> 1.
E X
2
Aufgabe 4 Sei M die Menge der Zufallsgrössen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P ).
Auf M wird durch
X ∼ Y :⇐⇒ P (X = Y ) = 1
eine Äquivalenzrelation definiert. Es bezeichne M/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen in M
bezüglich ∼, und mit [X] werde die Äquivalenzklasse von X ∈ M bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
d : (M/ ∼) × (M/ ∼) →
R
([X], [Y ]) 7→ E(|X − Y | ∧ 1)
eine Metrik auf M/ ∼ ist.
(b) Sei {Xn }n∈N eine Folge in M, und sei X ∈ M. Zeigen Sie, dass die Folge {[Xn ]}n∈N
bezüglich der Metrik d genau dann gegen [X] konvergiert (d.h. d([Xn ], [X]) → 0 für
n → ∞), wenn {Xn }n∈N in Wahrscheinlichkeit gegen X konvergiert.