Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Christian Leibold, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
6. Übung
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Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
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11.11.2014
Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 20. November - 24. November besprochen.
Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws/index.html
1. (Extremwerte) Bestimmen Sie die Extremwerte der untenstehenden Funktionen.
f (x) = x (1 − x)
(a)
x2 + 2 x
x2 − 4
f (x) = ln(x + x−1 )
1 x
f (x) = cosh(x) =
e + e−x
2
(b)
f (x) =
(c)
(d)
2. (Taylor-Entwicklung)
Entwickeln Sie folgende Funktionen bis zur 2. und 3. Ordnung am angegebenen Punkt x0 . Skizzieren
Sie für Beispiel (a) die Funktion f (x) und beide Taylorreihen.
(a)
(c)
f (x) = 2 x (x + 1)2 , x0 = 0
p
f (x) = x2 + a2 , a > 0, x0 = 0
(b)
(d)
f (x) = 2 x (x + 1)2 , x0 = 1
p
f (x) = x2 + a2 , a > 0, x0 = 1
3. (de l’Hospital) Berechnen Sie die Grenzwerte:
(a)
(d)
(g)
1 − ex
x→0
x
lim
(b)
lim xn e−x , n ∈ N
(e)
ln(1 − x) + x2
x→1 ln(1 − x2 ) + ex
(h)
x→∞
lim
(Hinweis: Umwandlung in
0
0
oder
∞
∞
ln x
x→1 1 − x
lim
(c)
lim x(ln x)n , n ∈ N
x→0
x
1
lim
−
x→1 x − 1
ln x
(f)
(i)
lim
x→∞
p
x(x + a) − x
ln(2 − x)
x→1 1 − x
lim
1
lim x x
x→∞
Formen.)
4. (de l’Hospital) Aus zwei positiven reellen Zahlen a und b kann man verschiedene Mittelwerte
bestimmen. Das Mittel der Ordnung α ist definiert als
α
1
a + bα α
Sα (a, b) =
.
2
Bekannte Sonderfälle sind S1 , das arithmetische, und S−1 , das harmonische Mittel. Welche Grenzwerte
ergeben sich für α → 0, +∞, −∞? (Hinweis: Untersuchen Sie den Logarithmus von Sα (a, b).)
(bitte wenden)
5. (Integration) Berechnen Sie folgende elementare Integrale:
Z
3
Z
2
−p dp
(a)
−3
2
Z
(d)
r−1 dr
0
−2x
e
(g)
−1
0
Z
(e)
−1
Z 2
−1
dx
2
(z + 2) dz
(b)
1
Z
1
−2
2
(c)
1
−7e−x dx
Z
x2 + 1
dx
2x
3
3y ln(3)dy
(f)
0
3
(y − 2y) dy
(h)
Z
Z
(i)
2
(3x2 + 1) dx
0
6. (Extremwertproblem)
Das Produkt zweier positiver Zahlen sei 42. Bestimmen Sie die Zahlen so, daß ihre Summe minimal
wird und geben Sie diese Summe an!