Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Übungsblatt 10

Prof. Dr. Volker Schmidt
Dipl.-Math. oec. Ralf Thiedmann
Dipl.-Math. oec. Florian Voss
WS 2009/2010
18.12.2009
Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler
Übungsblatt 10
(Abgabe: Dienstag, 12.1.2010, vor den Übungen)
Aufgabe 1
(2 + 2 Punkte)
Bei 100 Schülern wurden die Zähne auf Karies untersucht. Bei jedem Kind wird die Anzahl der kariösen
Zähne registriert, wobei sich folgende Daten ergeben:
1, 0, 0, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 0, 1, 0, 5, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 4, 0, 1, 1, 3, 0,
1, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 4, 2, 0, 3, 1, 1, 7, 2, 0, 2, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 6, 1,
1, 2, 1, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 3, 0, 5, 2, 1, 0, 2, 4, 0, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1,
1, 1, 1, 2, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 6, 5, 0, 4, 1, 2, 2, 7, 1, 3, 1, 5.
(a) Bestimme die empirische Verteilungsfunktion für die gegebenen Daten.
(b) Skizziere die empirische Verteilungsfunktion.
Aufgabe 2
(1 + 2 + 2 + 2 Punkte)
Die folgende Grafik zeigt die empirische Verteilungsfunktion für 100 Beobachtungen eines Merkmals
X.
b
1.0
b
0.8
0.6
b
0.4
b
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
(a) Welche verschiedenen Merkmalsausprägungen wurden für X beobachtet?
(b) Bestimme die absoluten und relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen von X.
(c) Berechne Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz der Beobachtungen.
(d) Nun wird eine Stichprobe mit zehn weiteren Beobachtungen erhoben. Alle zehn Beobachtungen
haben den Wert 4. Wie lauten die neuen relativen Häufigkeiten basierend auf allen Beobachtungen?
(2)
Aufgabe 3
(3 + 3 Punkte)
Bestimme mit der Momentenmethode Schätzer für die folgenden Modellparameter der Verteilung der
Zufallsvariable X:
(a) λ, falls X ∼ Poi(λ), mit λ > 0
(b) a, falls X ∼ U(−a, a), mit a > 0.
Aufgabe 4
(2 + 2 + 2 Punkte)
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige Stichprobenvariablen mit Xi ∼ U(0, θ) für alle i = 1, . . . , n und ein
θ > 0. Ferner sei Yn definiert als Yn = max{X1 , . . . , Xn }.
(a) Zeige, dass der Erwartungswert von Yn gleich
n
n+1 θ
ist.
(b) Zeige, dass Yn ein asymptotisch erwartungstreuer Schätzer für θ ist.
(c) Bestimme cn so, dass Tn = cn Yn ein erwartungstreuer Schätzer für θ ist.
Freiwillige Wiederholungsaufgaben (Zusatzpunkte)
Aufgabe 1
(3 + 3 + 3 Punkte)
Betrachte eine Zufallsvariable X mit Dichte fX (x) = 1I[−1,1] (x)c(1 − x).
(a) Bestimme c ∈ R, so dass fX (x) eine Dichte ist.
(b) Berechne den Erwartungswert von X.
(c) Berechne die Varianz von X.
Aufgabe 2
(2 + 2 Punkte)
Seien X, Y ∼ N(µ, σ 2 ) mit µ ∈ R und σ 2 > 0.
(a) Berechne den Erwartungswert von 2X − Y .
(c) Berechne die Varianz von 2X − Y , falls X und Y unabhängig sind, bzw. falls ρ(X, Y ) = 0.3 gilt.
Aufgabe 3
(3 + 3 Punkte)
Bei einer Fluggesellschaft weiß man, dass im Mittel 18 % derjenigen Personen, die sich einen Platz für
einen Flug auf einer bestimmten Route reservieren lassen, zum Abflug nicht erscheinen. Um die Zahl
der ungenutzten Plätze nicht zu groß werden zu lassen, werden daher für einen 220-sitzigen Jet mehr
als 220 Platzreservierungen vorgenommen. (Hinweis: Benutze den zentralen Grenzwertsatz. Quantils
der Standard-Normalverteilung : Φ(2.33) = 0.99, Φ(3.90) = 0.999952 ≈ 1)
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle zum Abflug erscheinenden Personen, für die ein
Platz reserviert wurde, auch einen Platz erhalten, wenn 240 Platzreservierungen vorgenommen
werden. Dabei nehme man an, dass die Entscheidungen darüber ob die einzelnen Reservierungen
wahrgenommen werden sollen, individuell (unabhängig) zustande kommen.
(b) Wieviele Platzreservierungen dürfen höchstens vorgenommen werden, damit die entsprechende
Wahrscheinlichkeit mindestens 99% beträgt.