¨Ubungen zur Vorlesung ” Elementare Stochastik“

Blatt 10
Prof. Dr. A. WAKOLBINGER
Übungen zur Vorlesung
”
SoSe 2007
Elementare Stochastik “
Ausgabe: Dienstag, 19. Juni
46. Unter den 32 Skatkarten gibt es je acht von den Farben Herz, Karo, Pique und Treff. Sie
lassen sich nacheinander alle 32 gut durchmischten Karten aufschlagen . Für jeden Farbwechsel
bekommen Sie einen Euro. (Wenn also etwa am Anfang alle Herz, dann alle Karo,... kommen,
dann erhalten Sie drei Euro.) Welchen Gewinn haben Sie zu erwarten? (Ein Tipp: Berechnen Sie
zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te und die i + 1-te Karte verschiedene Farben haben.)
47. Wir nennen Zufallsvariable X1 , . . . , Xn austauschbar verteilt (oder kurz: austauschbar,
wenn für jede Permutation (π(1), . . . , π(n)) von {1, . . . , n} gilt: (Xπ(1) , . . . , Xπ(n) ) ist so verteilt
wie (X1 , . . . , Xn ). (Insbesondere ist für i 6= j dann (Xi , Xj ) so verteilt wie (X1 , X2 ).)
X1 , . . . , Xg seien austauschbare reellwertige Zufallsvariable mit deterministischer Summe c.
Drücken Sie den Korrelationskoeffizienten κ von Xi und Xj durch g aus.
48. U sei uniform verteilt auf [−1, 1]. Finden Sie die Verteilungsfunktion b 7→ P{Y < b}
und die Dichte der Zufallsvariablen Y := sin( π2 U ). Vergewissern Sie sich hierzu erst mittels
1
der Regel dx
dy = dy/dx , dass für die Umkehrfunktion x = arcsin(y) von y = sin(x) gilt:
p
′
arcsin (y) = 1/ 1 − y 2 .
49 a) Z = (Z1 , Z2 , . . .) sei ein p-Münzwurf. Wie ist X :=
von Z unabhängige
PN
i=1
Zi verteilt, wenn N eine
a) Binom(n, r)-verteilte Zufallsvariable
b) Pois(λ)-verteilte Zufallsvariable ist?
PN
Pn
Hinweis zu a):
i=1 Zi hat dieselbe Verteilung wie
i=1 Zi Yi , wobei (Y1 , Y2 , . . .) ein von
Z1 , Z2 , . . . unabhängiger r-Münzwurf ist - warum?
P
Hinweis zu b): Berechnen Sie n≥k P{N = n, X = k}.
Vergleichen Sie a) und b) für großes n mit nr = λ.
50. Wir nennen eine Permutation (π1 , . . . , πn ) von {1, . . . , n} fixpunktfrei, wenn πi 6= i für
alle i = 1, . . . , n. Sei nun X = (X1 , . . . , Xn ) eine rein zufällige Permutation von {1, . . . , n}.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der X fixpunktfrei ist, und deren Grenzwert für
n → ∞. (Hinweis: Betrachten Sie die Ereignisse Gi := {Xi = i} und verwenden Sie die
Ein-Ausschaltregel.)
50*. Aus: Y. Suhov, M. Kelbert, Probability and Statistics by Example, Cambridge University Press 2005:
A total of n male psychologists1 remebered to attend a meeting about absentmindedness. After
the meeting, none could recognize his own hat so that they took hats at random. Furthermore,
each was liable, with probability p and independently of the others, to loose the hat on the way
home. Assuming, optimistically, that they arrived home, find the probability that none had his
own hat with him, and deduce that it is approximately e−(1−p) .
1 man
könnte hier o.B.d.A. auch Mathematikerinnen oder Mathematiker einsetzten