Rolf Wanka Alexander Raß Erlangen, 20. Juni 2017 Übungen zur Vorlesung Randomisierte Algorithmen SS 2017 Blatt 7 AUFGABE 17: Beweisen Sie das Gesetz der großen Zahlen: Gegeben sei eine Zufallsvariable X, für die E[X] und Var[X] existieren. Seien ε, δ > 0 beliebig, aber Var[X] : fest. Dann gilt für alle n ≥ ε · δ2 Sind X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit derselben Verteilung wie X und setzt man Z := 1 n · ∑ Xi , n i=1 so gilt: Pr[|Z − E[X]| ≥ δ] ≤ ε . Hinweis: Berechnen Sie E[Z] und Var[Z] und wenden Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung an. Zur Erinnerung die Tschebyscheffsche Ungleichung: Sei X eine Zufallsvariable. Für jedes ε > 0 gilt: Var[X] Pr[|X − E[X]| ≥ ε] ≤ ε2 AUFGABE 18: Beweisen Sie die folgende Aussage, die stärker ist als das Gesetz der großen Zahlen: Seien X1 , . . . , Xm unabhängige Indikator-Variablen mit gleicher Verteilung. Sei µ = E[Xi ]. Zeigen Sie: Für m ≥ 3 ln(2/δ) ist ε2 µ " # 1 m Pr ∑ Xi − µ ≥ ε · µ ≤ δ . m i=1 Hinweis: Die Tschebyscheffsche Ungleichung ist zu schwach. Auf welches Werkzeug sollten Sie dann also zurückgreifen?