Übungen zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie

Prof. Dr. F. Kalhoff
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2015/16
Übungen zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie
Blatt 4
Algorithmus (Erweiterter Euklidischer Algorithmus)
Gegeben seien ganze Zahlen a, b ∈ Z, mit a > b. Man betrachte folgende Schritte:
Initialisierung:
r−1 := a, r0 := b;
x−1 := 1, x0 := 0;
y−1 := 0, y0 := 1;
und für k ≥ 1 :
rk so, dass rk−2 = qk rk−1 + rk mit 0 ≤ rk < rk−1
xk := xk−2 − qk xk−1 ;
yk := yk−2 − qk yk−1 ;
Stoppe, wenn rk = 0.
x := xk−1 , y := yk−1 .
Aufgabe 13.
a) Zeigen Sie zunächst, dass der obige Algorithmus eine Gleichung ggT(a, b) =
xa + yb liefert. Beschreiben Sie dazu wie diese Gleichung der Ausgabe des
Algorithmus entnommen werden kann und beweisen Sie ihre Behauptung.
b) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler d von a und b sowie x, y ∈ Z
so, dass ax + by = d gilt:
• a = 364, b = 85
• a = 1234, b = 123
• a = 165, b = 105
Aufgabe 14. Seien K und H Untergruppen einer endlichen Gruppe G. Es sei
wie üblich KH := {kh|k ∈ K, h ∈ H}.
a) Zeigen Sie, dass für die Elementanzahlen gilt |HK| =
|H||K|
|H∩K|
b) Zeigen Sie, dass genau dann KH = HK gilt, wenn die Menge KH eine
Untergruppe von G ist.
c) Bestimmen Sie ein nichttriviales Beispiel einer Untergruppe KH wie in
Aufgabenteil b). Überlegen Sie sich zunächst, was nichttrivial in diesem
Zusammenhang bedeuten kann/soll.
Aufgabe 15. Seien (H, ◦) und (K, ?) Gruppen mit neutralen Elementen eH bzw.
eK . Zeigen Sie:
a) Die Verknüpfung ((h, k), (h0 , k 0 )) 7→ (h ◦ h0 , k ? k 0 ) macht die Menge H × K
zu einer Gruppe. Sie heißt äußeres direktes Produkt von H und K und wird
ebenfalls mit H × K bezeichnet.
b) Die Abbildungen : φ : H → H × K, h 7→ (h, eK ) und ψ : K → H × K,
k 7→ (eH , k) sind Homomorphismen. Die Untergruppen Bild(φ) und Bild(ψ)
sind Normalteiler in H × K, und es gilt Bild(φ)Bild(ψ) =Bild(ψ)Bild(φ).
c) Im Falle endlicher Untergruppen H, K, gilt für die Elementanzahlen |H ×
K| = |H| · |K|.
d) Seien nun H und K Untergruppen einer Gruppe G. Dann heist G inneres
direktes Produkt von H und K, falls H und K Normalteiler in G sind und
G = HK sowie H ∩ K = {e} gilt. Zeige, dass dieses innere direkte Produkt
isomorph zu dem äußeren direkten Produkt H ×K ist. (Deshalb wird häufig
auf die Unterscheidung zwischen innerem und äußerem direkten Produkt
verzichtet.)
Aufgabe 16. Sei n eine natürliche Zahl.
a) Beschreiben Sie alle Unter- und Faktorgruppen von Zn := Z/nZ.
b) Welche der folgenden Gruppen sind isomorph zueinander?
Z2 × Z2 , Z6 , S3 , Z2 × Z3 , Z∗5 , Z∗7 , Z∗8 , D3 , V4
Abgabetermin: Donnerstag, der 19.11.15, 12:00 Uhr.