Zeit zur Bearbeitung: 90 min !

Fakultät für Mathematik
Institute IAG und IMO
Prof. Dr. H. Bräsel/Dr. M. Höding
Probeklausur zur Mathematik II (Algebra)
Fachrichtungen: IF, CV, CSE und WIF
Mai 2008
Bitte in Druckschrift ausfüllen!
Name
Vorname
Fachrichtung
Matrikelnummer
Punktebewertung
Aufgabe
Punkte
P
1(a) 1(b) 1(c) 1(d) 1(e) 1(f) 1(g) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 2(e)
6
8
5
3
3
1
5
5
2
4
4
4
50
erreichte
Punkte
Alle Aussagen sind sorgfältig zu begründen!
und
Zeit zur Bearbeitung: 90 min !
1
1. Sei G1 die von den reellen Matrizen A =
0 1
−1 0
und B =
0 1
1 0
mit der Matrizenmultiplikation als Operation erzeugte Gruppe (M, ·).
Sie hat die Elemente M1 = E, M2 = A, M3 = B, M4 = A2 , M5 = A3 ,
M6 = AB, M7 = BA, M8 = BA2 .
(a) Ergänzen Sie die Gruppentafel
·
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M1
M1
M2
M2
M3
M7
M6
M7
M8
M3
M8
M6
M3
M3
M6
M1
M8
M7
M2
M5
M4
M4
M4
M5
M5
M8
M6
M7
M6
M3
M8
M3
M7
M6
M6
M8
M5
M7
M3
M1
M4
M2
M7
M7
M3
M2
M6
M8
M4
M1
M5
M8
M8
M7
M4
M3
M6
M5
M2
M1
(b) Weisen Sie die Gruppeneigenschaften nach. Warum gilt sofort das Assoziativgesetz?
(c) Geben Sie eine Untergruppe G∗ = (M ∗ , ·) von G1 mit 4 Elementen an
(Begründung nicht vergessen!) und zeigen Sie, daß diese ein Normalteiler ist.
(d) Überprüfen Sie die Gruppe und die Untergruppe auf Kommutativität.
(e) Sind G1 und G∗ zyklisch?
(f) Geben Sie ein minimales Erzeugendensystem für die Untergruppe G∗
an.
(g) Ist die Untergruppe G∗ isomorph zur Gruppe G2 = (Z5 \ {[0]5 }, ⊙)?
Lösung:
0 1
0 1
1 0
= B,
= A, M3 =
= E, M2 =
(a) M1 =
1 0
−1 0
0 1
−1
0
0 −1
2
3
M4 = A =
, M5 = A =
0 −1
1
0
Ausfüllen der
Gruppentafel:
−1
0
0 1
0 1
= M4
=
·
M2 · M2 =
0 −1
−1 0
−1 0
0 −1
−1
0
0 1
= M5
=
·
M2 · M4 =
1
0
0 −1
−1 0
2
(b)
M2 · M5 =
M4 · M2 =
M4 · M4 =
1 0
0 −1
= M1 = E
=
·
0 1
1
0
0
0 1
0 −1
·
=
= M5
−1
−1 0
1
0
1 0
−1
0
0
=E
=
·
0 1
0 −1
−1
0 1
−1 0
−1
0
−1
0
Alle anderen kann man sofort eintragen, da vorausgesetzt wird, daß
eine Gruppe vorliegt:
M2 · M1 = M2 , M4 · M1 = M4 , M4 · M5 = M2 , M5 · M1 = M5 ,
M5 · M2 = M1 , M5 · M4 = M2 , M5 · M5 = M4 .
– ∀Mi , Mj ∈ M : Mi · Mj ∈ M, damit ist die Abgeschlossenheit
erfüllt (Verknüpfungstabelle).
– Assoziativgesetz gilt sofort, da M abgeschlossen bzgl. Multiplikation und das Assoziativgesetz für allgemeine Matrizenmultiplikation
gilt.
– M1 = E ist neutral: ∀Mi ∈ M gilt: M1 · Mi = Mi · M1 = Mi .
– Inverse Elemente sind aus der Gruppentafel zu entnehmen: Suche
ein neutrales Element in der Tafel, dann sind die beiden Elemente,
deren Multiplikation M1 ergibt, invers zueinander:
zu M1 : M1 , zu M2 : M5 , zu M3 : M3 , zu M4 : M4 , zu M5 : M2 , zu
M6 : M6 , zu M7 : M7 und zu M8 : M8 .
(c) G∗ = (M ∗ , ·) mit M ∗ = {M1 , M2 , M4 , M5 }
· M1
M1 M1
M2 M2
M4 M4
M5 M5
M2
M2
M4
M5
M1
M4
M4
M5
M1
M2
M5
M5
M1
M2
M4
Da die Menge M ∗ abgeschlossen bzgl. der Multiplikation, ist G∗ Untergruppe. Wenn G∗ Normalteiler sein soll, muss gelten:
Mi · M ∗ = M ∗ · Mi ∀i = 1, . . . , 8.
Es ist klar, dass dies für i = 1, 2, 4, 5 erfüllt ist, da M ∗ Trägermenge
der Untergruppe ist
M3 · M ∗ = M ∗ · M3
√
{M3 , M7 , M8 , M6 } = {M3 , M6 , M8 , M7 }
M6 · M ∗ = M ∗ · M6
√
{M6 , M3 , M7 , M8 } = {M6 , M8 , M7 , M3 }
M7 · M ∗ = M ∗ · M7
√
{M7 · M8 , M6 , M3 } = {M7 , M3 , M6 , M8 }
3
M8 · M ∗ = M ∗ · M8
√
{M8 , M6 , M3 , M7 } = {M8 , M7 , M3 , M6 }
Damit gilt: G∗ ist Normalteiler.
(d) G1 ist nicht kommutativ, z. B. M2 · M3 6= M3 · M2 .
G∗ ist kommutativ: ∀Mi , Mj ∈ M : Mi · Mj = Mj · Mi .
Gruppentafel wird an der Hauptdiagonalen gespiegelt und es entsteht
wieder die gleiche Tafel.
(e) Wenn die Gruppe zyklisch sein soll, muss ein Element der Ordnung 8
existieren. Nach den inversen Elementen kommen dafür nur M2 oder
M5 in Frage:
O(M2 ) = 4 da M2 · M2 · M2 · M2 = E
O(M5 ) = 4 da M5 · M5 · M5 · M5 = E
d. h. Gruppe ist nicht zyklisch. Da in G∗ das Element M2 ist und
O(M2 ) = 4 gilt, ist die Untergruppe zyklisch.
(f) Da in G∗ das Element M2 ist und O(M2 ) = 4, ist {M2 } minimales
Erzeugendensystem: M2 , M22 = M4 , M23 = M5 , M24 = M1 = E
(f) G2 = (z5 \{0}, ⊙) mit
⊙
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
mit 0(1) = 1, 0(2) = 4, 0(3) = 4, 0(4) = 1
bijektive Abbildung ϕ : M1 ↔ 1
M4 ↔ 4
M2 ↔ 2
M5 ↔ 3
Dann entsteht aus der Gruppentafel von G∗ aus (c):
1 2 4 3
1 2 3 4
1 1 2 4 3
1 1 2 3 4
Umsortierung
ϕ
2 2 4 1 3
→ 2 2 4 3 1
→
4 4 3 1 2
3 3 1 4 2
3 3 1 2 4
4 4 3 2 1
Diese ist gleich der Gruppentafel der G2 , also sind die Gruppen isomorph.
4
2. Betrachtet werden die Gruppen G1 = (C \ {0}, ·} und G2 = {R>0 , ·}.
(a) Man zeige, daß die Abbildung f : C \ {0} → R>0 mit f (z) = |z| für
alle z ∈ C \ {0} ein surjektiver Homomorphismus ist.
(Hinweis: Die Verwendung der Eulersche Form der komplexen Zahlen
erleichtert die Beweisführung.)
(b) Welche Kongruenzrelation wird durch den surjektiven Homomorphismus in C \ {0} induziert?
(c) Man bestimme den Kern der Abbildung und beschreibe allgemein die
Kongruenzklassen.
(d) Man beschreibe die entstehende Faktorgruppe und deute die Elemente der Trägermenge der Faktorgruppe G1 /K und deren Verknüpfung
geometrisch.
(e) Der Homomorphiesatz sagt aus, daß die Faktorgruppe G1 /K isomorph
zu G2 = {R>0 , ·} ist. Welche bijektive Abbildung gehört zu dieser
Isomorphie? (Begründung!)
Lösung:
(a) zu zeigen: f (z1 · z2 ) = f (z1 ) · f (z2 ).
f (z1 · z2 ) = f (r1 · r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) )
= r1 · r2
= f (r1 · eiϕ1 ) · f (r2 · eiϕ2 )
= f (z1 ) · f (z2 )
Damit ist die Homomorphie gezeigt. Jedes x ∈ R>0 ist Bildelement,
da ∀x ∈ R>0 f (x · eiϕ ) = x gilt, daraus folgt die Surjektivität von f .
(b) z1 Rz2 ⇔ f (z1 ) = f (z2 )
(c)
Kern(f ) = {z | f (z) = 1 = |z|}
= {eiϕ | 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
[z] = {reiϕ | r = |z| ∧ 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
(d) G1 |K = (M, ⊗): M = {[z] | |z| = r ∧r ∈ R>0 } und [z1 ]⊗[z2 ] = [z1 · z2 ].
Die Elemente der Trägermenge der Faktorgruppe sind Kreise in der
Gaußschen Zahlenebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius
r > 0, r ∈ R>0 . Wird der Kreis mit Radius r1 mit dem Kreis mit
Radius r2 komplex multipliziert, entsteht ein Kreis mit Radius r1 · r2 .
(e) Die bijektive Abbildung ist durch [z] ↔ r = |z| bestimmt, da jede positive
reelle Zahl r als Urbilder (bezüglich f ) alle komplexen Zahlen z mit |z| = r
hat, die durch den natürlichen Homomorphismus in [z] abgebildet werden.
5