M I ¨ I /SWT - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. W. Rump / J. Spreer
Blatt 7
WS 2009/10
M I ̈ I/SWT
Aufgabe 1 (zum Votieren) Es seien A und B abelsche Gruppen. Zeigen
Sie: Die Menge der Homomorphismen f : A → B ist zusammen mit der
Addition
( f + g)(x) := f (x) + g(x)
eine abelsche Gruppe. Geben Sie das neutrale Element, sowie das inverse
Element zu einem Homomorphismus f an.
Aufgabe 2 (zum Votieren)
Gegeben sei folgende Abbildung:
f : (C, +) → (C, +);
z 7→ Re(z)
Zeigen Sie:
a) f ist ein Homomorphismus.
b) Bestimmen Sie den Kern, das Bild und die Fasern f −1 (z) von f .
c) Folgern Sie, dass der Ker( f ) =: iR die imaginäre Achse ist und C/iR R.
Aufgabe 3 (zum Votieren) Es seien A, B abelsche Gruppen. Wir definieren
auf dem kartesischen Produkt A × B folgende Addition:
+ : (A × B) × (A × B) → (A × B);
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) 7→ (a1 + a2 , b1 + b2 )
a) Zeigen Sie: (A × B, +) =: A ⊕ B ist eine abelsche Gruppe. Diese Gruppe
wird als direkte Summe von A und B bezeichnet.
b) Wie kann R/Z ⊕ R/Z geometrisch veranschaulicht werden?
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2 von Übungsblatt 3.
Aufgabe 4 (zum Votieren)
Es seien a, b ∈ R2 , b , (0, 0),
g := {a + t · b | t ∈ R}
definiert eine Gerade in Parameterform. Es seien
g := {a + t · b | t ∈ R};
h := {c + s · d | s ∈ R}
zwei Geraden mit t · b , d ∀t ∈ R, berechnen Sie den Schnittpunkt der
beiden Geraden.
Aufgabe 5 (schriftlich, 6 Punkte)
A, B Untergruppen. Zeigen Sie
Sei G eine abelsche Gruppe und seien
a) A ∩ B ist eine Untergruppe.
b) A + B := {a + b|a ∈ A; b ∈ B} ist eine Untergruppe.
c) A+B ist das Supremum der Menge {A, B} bezüglich der Halbordnung
”⊂” auf der Menge der Untergruppen von G.
d) A ∪ B ist im Allgemeinen keine Untergruppe (Betrachten Sie dazu
die Vereinigung zweier Untergruppen der ganzen Zahlen Z und
überprüfen Sie die Abgeschlossenheit der Addition).
Abgabe der schriftlichen und Besprechung der Votieraufgaben am
Dienstag, den 8. 12. bzw. Donnerstag, den 10. 12. in den Übungen.