Aufgaben zum Skalarprodukt

Oktober 2011
Telekolleg II
Aufgaben zum Skalarprodukt
1.
Die Strecke [AB] mit A(6 | 2 | -1) und B(b | -2 | -1) hat die Länge 5 (LE). Berechnen Sie b (2 Lösungen)!
2.
Welche Punkte der x-Achse haben vom Punkt A(2 | 0 | -4) die Entfernung 5 (LE)?
3.
Welche Achsenpunkte haben von A(-2 | 5 | 3) und B(-4 | -1 | 1) gleichen Abstand?
4.
Welchen Umfang hat das Dreieck ABC mit A(4 | -2 | 7), B(1 | -2 | 3) und C(3 | 2 | -1)?
5.
Weisen Sie nach, daß M(0 | 1 | 2) der Mittelpunkt einer Kugel ist, auf der die Punkte A(2 | -1 | 3), B(2 | 0 | 4)
und C(-1 | 3 | 4) liegen.
6.
Berechnen Sie den Mittelpunkt der Kugel durch die 4 Punkte A(1 | -4 | 2), B(7 | 5 | 5), C(4 | -3 | 0) und D(-1 | 0 | -4)!
(Setzen Sie hierzu M(m1 | m2 | m3 ) und stellen Sie 3 Gleichungen auf!)
7.
6
12 


 
 
Gegeben sind die Vektoren a   0  und b   3  .Berechnen Sie
 8 
4
 
 


7.1 die Beträge a und b !


7.2 die Einheitsvektoren a 0 und b 0 !


7.3 den Winkel a zwischen a und b !

7.4 die Richtungswinkel von a !
7.5 einen Vektor, der den Winkel a halbiert!
8.
Die Punkte A(-3 | 0 | 1), B(7 | -1 | -1) und C(2 | 1 | -3) bilden das Dreieck ABC. Berechnen Sie seine Innenwinkel!
9.
Im dreidimensionalen Vektorraum kennt man vom Vektor a die Länge a = 2 (LE) und die Richtungswinkel


1  60 und 2  135 . Berechnen Sie den Vektor a (mehrere Lösungen)!


10. Gegeben ist das Vektorpaar aus Aufgabe 7. Berechnen Sie einen gemeinsamen Lotvektor zu a und b !
11. An welcher Ecke ist das Dreieck ABC mit A(5 | 0), B(-2 | 4) und C(1 | -2) rechtwinklig?
12. Die Punkte A(4 | 10 | 1), B(-2 | 6 | 2), C(1 | 2 | 4) und D(7 | 6 | 3) bilden ein Viereck ABCD. Weisen Sie nach, daß es
ein Rechteck ist!
Lösungen
1. b1  3 ; b2  9
2. (5 | 0 | 0) und (-1 | 0 | 0)
5. r = 3
6. M(1 |3 |2)
7.3   72
 1 


9.   2 
 1 


5
3. (5 | 0 | 0); (0 | | 0) ; (0 | 0 | 5)
3
7.1 a = 10 ; b = 13
7.4 53,1 ; 90 ; 143,1
 99 


7.5  15 
 32 


 4 


10.  20 
 3 


11. bei C
4. Umfang 20 (LE)
12 
 0, 6 

 1  
 3 
7.2  0  ;
 0,8  13  4 
 


8. 30,9 ; 35, 4 ; 113,8
12. 3 rechte Winkel