Analysis 2

Institut für Analysis
Prof. Dr. R. Chill
Dr. M. Waurick
Übungsblatt 11
26. 06. 13
Analysis 2
41. (a) Ist die Kurve f : [0, 1] → R2 mit f (0) = (0, 0) und f (t) = (t, t·cos 1t ) (t ∈ (0, 1]) rektifizierbar?
(b) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardioide f : [0, 2π] → R2 , t 7→ ((1−cos t) cos t, (1−cos t) sin t).
(c) Berechnen Sie die Bogenlänge des Schraubenlinienstückes f : [0, 2π] → R3 , t 7→ (cos t, sin t, 2πt ).
42. Let a, b, c ∈ R, a < b, c 6= 0. Compute the arclength of f |[a,b] , where f : R → R2 , t 7→ (ect ·
cos t, ect · sin t) is the logarithmic spiral. Does the limit lim `(f |[a,0] ) exist?
a→−∞
43 (Riemann-Stieltjes Integral). Sei g : [0, 1] → RN eine stetige, rektifizierbare Kurve. Für eine stetige
Funktion f ∈ C[0, 1], für eine Partition Π := (xi )i∈{0,...,n+1} von [0, 1], d.h. 0 = x0 < . . . < xn+1 = 1,
und Zwischenstellen ξ = (ξi )i∈{0,...,n} von Π, d.h. ξi ∈ (xi , xi+1 ) für alle i ∈ {0, . . . , n}, setzen wir
SΠ,ξ (f, g) :=
n
X
f (ξi )(g(xi+1 ) − g(xi )).
i=0
(a) Für eine Partition Π := (xi )i von [0, 1] definieren wir |Π| := maxi |xi − xi+1 |. Sei nun (Πn )n∈N eine
Folge von Partitionen (ξn )n∈N eine Folge von entsprechenden Zwischenstellen. Es gelte |Πn | → 0 für
n → ∞. Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion f ∈ C[0, 1] der Grenzwert
lim SΠn ,ξn (f, g)
n→∞
existiert und dass für jede weitere Partionenfolge (Ψn )n mit Zwischenstellen (ζn )n mit |Ψn | → 0 für
n → ∞ gilt
lim SΠn ,ξn (f, g) = lim SΨn ,ζn (f, g)
n→∞
n→∞
R1
R
Wir setzen 0 f dg := limn→∞ Πn ,ξn f dg.
44. Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen Stammfunktionen besitzen und berechnen Sie
diese gegebenenfalls.
1
(a) ϕ : R3 \ {0} → R3 , (x, y, z) 7→ − |(x,y,z)|
3 (x, y, z)
3
3
2
2
(b) ϕ : R → R , (x, y, z) 7→ (2xy, x + y , 3z 4 )
1
(x, −y)
(c) ϕ : R2 \ {0} → R2 , (x, y) 7→ |x,y|
Zusatzaufgabe. (a) Finden Sie eine stetige, surjektive Funktion ϕ : [0, 1] → [0, 1]2 .
(b) Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion ϕ : [0, 1] → R mit ϕ(0) = ϕ(1) = 0 ein s ∈ (0, 1) and
ε > 0 existiert, so dass für alle t ∈ (s, s + ε) gilt ϕ(s) 5 ϕ(t).
(c) Beweisen Sie mit Hilfe von (b) den Mittelwertsatz: Sei g : U j X → Y differenzierbar auf der
offenen Teilmenge U des Banachraums X mit Werten in einem Banachraum Y , so gibt es für alle
x1 , x2 ∈ U mit [x1 , x2 ] j U ein s ∈ (0, 1) mit der Eigenschaft
kg(x1 ) − g(x2 )kY 5 kg 0 (sx1 + (1 − s)x2 )kL(X,Y ) kx1 − x2 kX .
(d)∗ Kann man in (b) die Zahlen ε > 0 und s ∈ (0, 1) auch so wählen, dass für alle t1 ∈ (s − ε, s)
und t2 ∈ (s, s + ε) entweder die Ungleichungen ϕ(t1 ) 5 ϕ(s) 5 ϕ(t2 ) oder die Ungleichungen ϕ(t1 ) =
ϕ(s) = ϕ(t2 ) gelten?
Abgabe: Mittwoch 03.07.13 bis 16:30 Uhr, Briefkasten C-Flügel.