Montag 22.11.2010 bis 13 Uhr Au

ÜBUNGSBLATT 8
MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010
PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ABGABE: Montag 22.11.2010 bis 13 Uhr
Die Übungsblätter werden am Montag in der Vorlesung verteilt und sind ab dann auch auf
der Homepage http://www.math.unizh.ch/hs10/mat121 erhältlich.
Für eine Wertung sind mindestens die ersten beiden Aufgaben zu lösen. Generell soll der
Herleitungsweg von Resultaten übersichtlich und vollständig sein, und es wird gebeten, leserlich zu schreiben. Bitte geben Sie nur die Lösung der für Ihre Studienrichtung gedachten
Aufgabe 5 ab (Mathematik & andere: 5M, Physik: 5P).
Bitte die Lösungen bis spätestens 13h am Abgabetermin in den Fächern auf den Briefkästen
im K–Stock des Instituts für Mathematik, Bau 27, (MATH & andere), respektive in die
Box im K–Stock (linker Korridor) des Instituts für Theoretische Physik, Bau 36, (PHYS)
deponieren.
Aufgabe 1.
(a) Skizzieren Sie das Bild von R unter der Abbildung f : C → C, z 7→ eiz ;
(b) In der Vorlesung wurde die geometrische Definition der trigonometrischen Funktionen vorausgesetzt, und mit deren Eigenschaften die Eulersche Darstellung
komplexer Zahlen gezeigt. Umgekehrt könnte man die Eulersche Darstellung
als Definition voraussetzen, um dann elementare Eigenschaften von sin und cos
herzuleiten. Zeigen Sie, zum Beispiel, wie folgende Identitäten aus der Eulerschen Darstellung gewonnen werden können.
und
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.
Aufgabe 2. Beweisen Sie folgende Identitäten, wobei a, b > 0 und x, y ∈ R:
(a) ln ax = x ln a;
x
(b) ab = ax bx ;
ax
(c) y = ax−y ;
a y
(d) ax = axy .
Berechnen Sie ausserdem
(e) lim
xx .
x→0
x>0
Aufgabe 3. Sei D ⊂ C und z ⋆ ein Häufungspunkt von D. Sei ferner f : D → C eine
Abbildung. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) lim⋆ f (z) = a.
z→z
n→∞
(b) Für jede Folge zn n∈N ⊂ D \ z ⋆ mit zn −→ z ⋆ existiert eine Teilfolge von
f (zn ) n∈N , welche nach a konvergiert.
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ÜBUNGSBLATT 8 (MAT121/MAT131 ANALYSIS I)
Aufgabe 4. Sei g : C \ {0} → C definiert durch
ex cos y + i sin y − 1
g(x + iy) =
.
x + iy
(a) Zeigen Sie, dass es für jede Nullfolge (zn )n∈N ⊂ C \ {0} eine Teilfolge (znk )k∈N ,
znk = xnk + iynk , gibt mit folgender Eigenschaft:
xn
(i) entweder ist lim k = 0,
k→∞ ynk
xn
(ii) oder es ist lim k = α 6= 0,
k→∞ ynk
yn
(iii) oder aber es ist lim k = 0;
k→∞ xnk
(b) Verwenden Sie die Identitäten
cos x − 1
sin x
ex − 1
= 1,
lim
=0
und
lim
= 1,
lim
x→0
x→0 x
x→0
x
x
k→∞
um zu folgern, dass g (znk ) −→ 1;
(c) Verwenden Sie schliesslich Aufgabe 3, um dann
lim g(z) = 1
z→0
zu beweisen.
Aufgabe 5M. Sei ω : (0, ∞) → R eine nicht–fallende Funktion, für die es ein R0 > 0
und ein θ ∈ (0, 1) gibt mit
ω(R) ≤ θω(2R)
für alle R ∈ (0, R0 ).
Zeigen Sie, dass dann C, α > 0 existieren mit
ω(R) ≤ CRα
für alle R ∈ (0, 2R0 ].
Aufgabe 5P. Beweisen Sie, dass es keine überall stetige Funktion f : C \ {0} → C
geben kann, welche ef (z) = z erfüllt, für alle z ∈ C \ {0}.