Blatt 3

Computational Finance
WS 15/16
Prof. Dr. Thomas Gerstner
Übung 3
Abgabe: 10.11.2015
Aufgabe 1:
Sei {Wt , 0 ≤ t < ∞} ein Wiener Prozess. Zeigen sie mit Hilfe der Itô-Formel, dass:
(a) Xt = exp(Wt − 21 t) löst dXt = Xt dWt .
(b) Xt = exp(2Wt − t) löst dXt = Xt dt + 2Xt dWt .
Punkte: 6
Aufgabe 2:
Sei {Wt , 0 ≤ t < ∞} ein Wiener Prozess. Zeigen Sie mit Hilfe der Itô-Formel das
1
d(cos(Wt )) = − cos(Wt ) dt − sin(Wt ) dWt
2
und
1
d(sin(Wt )) = − sin(Wt ) dt + cos(Wt ) dWt
2
gilt.
Punkte: 6
Aufgabe 3:
Sei {Wt , 0 ≤ t < ∞} ein Wiener Prozess und sei
mk (t) := E(Wtk ),
k = 0, 1, 2, . . .
Zeigen Sie mit Hilfe der Itô-Formel
1
mk (t) = k(k − 1)
2
Z t
0
mk−2 (s) ds
für k ≥ 2.
Punkte: 6
Aufgabe 4:
Betrachten sie Zahlen u, d, p, β, µ, σ, ∆t, T und n mit
u=β+
q
1
eµ∆t − d
2
β 2 − 1, β = (e−µ∆t + e(µ+σ )∆t ), ud = 1, T = n∆t, p =
2
u−d
und zeigen sie
u
(a) lim np(1 − p) ln
∆t→0
d
2
= σ2T
u
(b) lim n p ln + ln d =
∆t→0
d
σ2
µ−
2
!
T
2p − 1
2r − σ 2
(c) lim √
=
∆t→0
2σ
∆t
und damit, dass das Binomialmodell für diese Parameter für ∆t → 0 gegen das Black-Scholes-Modell
mit Drift µ und Volatilität σ konvergiert.
Hinweis: Es ist hilfreich die Beziehungen
d=β−
q
β 2 − 1, u = eσ
√
∆t
zu benutzen sowie am Anfang zu zeigen, dass lim∆t→0 p =
, d = e−σ
1
2
√
∆t
gilt.
Punkte: 12
Gesamtpunktzahl: 30 Punkte