3. Übungsblatt

Institut für Stochastik
JProf. Dr. L. Veraart · Dipl.-Math. S. Urban
3. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik II
Aufgabe 1 (Eigenschaften der quadratischen Covariation)
Zeigen Sie die Symmetrie und die Bilinearität der quadratischen Covariation. Beschränken Sie sich
dabei auf Prozesse X,Y ∈ M 2 , d.h. quadratisch integrierbare und stetige Martingale, und verwenden
Sie die bekannte Charakterisierung:
hX,Y i ist der fast sicher eindeutige, in 0 startende und wachsende Prozess, sodass XY − hX,Y i ein
gleichgradig integrierbares Martingal1 ergibt.
Aufgabe 2 (Normalverteilung des Itô-Integrals)
Sei W := (Wt )t≥0 eine Brownsche Bewegung auf (Ω, F , P) und f : R → R stetig. Zeigen Sie, dass
Xt :=
Z t
0
f (s)dWs , t ≥ 0,
für jedes feste t ≥ 0 normalverteilt ist und bestimmen Sie die Parameter der Verteilung.
Hinweis: Bestimmen Sie die momenterzeugende Funktion ΦXt von Xt .
Aufgabe 3 (Lösen einer stochastischen Differentialgleichung)
Der reellwertige Prozess X := (Xt )t≥0 sei beschrieben durch die SDGL
´
m ³
( j)
( j)
( j)
dXt = (µt Xt + νt ) dt + ∑ λt Xt + σt dWt , X0 = x0
j=1
für ein x0 ∈ R und progressiv messbare Prozesse µ, ν, λ( j) , σ( j) , j = 1, . . . , m. Dabei gelte für alle
R
R
( j)
( j)
j = 1, . . . , m und alle t ≥ 0 0t |µs | + |νs |ds < ∞ sowie 0t |λs |2 + |σs |2 ds < ∞. Zeigen Sie, dass X
dann folgende explizite Darstellung besitzt:
Ã
Xt = Zt x0 +
Zt
Z t
1
0
Zs
Ã
m
νs − ∑
j=1
!
( j) ( j)
λs σs
m
ds + ∑
Z t ( j)
σs
j=1 0
Zs
!
!
( j)
dWs
mit
ÃZ µ
¶
m Z t
t
1
( j)
( j)
2
= exp
µs − ||λs || ds + ∑
λs dWs
.
2
0
j=1 0
( j)
( j)
Hinweis: Z ist Lösung des homogenen Teils dZt = Zt µt dt + Zt ∑mj=1 λt dWt , Z0 = 1. Zeigen Sie
das und folgern Sie daraus, dass X eine Lösung der SDGL ist. Es gilt sogar Eindeutigkeit, was Sie
voraussetzen dürfen.
1 bezüglich
der natürlichen Filtration der in X und Y vorkommenden Brownschen Bewegung
Aufgabe 4 (Ornstein-Uhlenbeck Prozess)
Sei W Brownsche Bewegung auf (Ω, F , P) und α ∈ R \ {0}. Ein die SDGL
dXt = −αXt dt + dWt
lösender Prozess X mit festem Anfangswert X0 = x0 ∈ R heißt Ornstein-Uhlenbeck Prozess. Finden
Sie eine explizite Darstellung von X und bestimmen Sie daraus die Verteilung von Xt für festes t ≥ 0.
Aufgabe 5 (Vasicek-Zinstruktur)
Betrachten Sie das Zinsstrukturmodell
drt = (α − βrt ) dt + γdWt ,
r0 = c ∈ R
von Oldrich Vasicek. Dabei sind α, β und γ positive reelle Zahlen und W ist eine Standard-Brownsche
Bewegung. Zeigen Sie, dass rt zu jeder Zeit t ≥ 0 die Verteilung
µ
¶ 2
µ
¶
α
γ
α
N
+ exp (−βt) r0 −
, (1 − exp (−2βt))
β
β 2β
besitzt.
P R ÜFUNGSANK ÜNDIGUNG
Am Dienstag, 28. Juli 2009, besteht die Möglichkeit, durch mündliche Prüfung
über den Inhalt der Übungen einen Übungsschein zu erwerben. Voraussetzung
zur Zulassung hierzu ist die aktive Mitarbeit in der Übung durch (mindestens
zweimaliges) Vorstellen vorbereiteter Aufgaben.
Am Dienstag, 4. August 2009, findet eine studienbegleitende Prüfung statt.
Bitte melden Sie sich bei Interesse rechtzeitig vor Ende der Vorlesung.