Aufgaben zur Vektorrechnung (Teil 2)

Prof. Dr. K. Melzer Mathe 1 Blatt 1a Vektorrechnung II Aufgaben
Aufgabe 1: (Prüfung ITB1, WS 2010/11, Aufgabe 5) Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig auf
ihren Flugbahnen. Das Erste befindet sich am Punkt P1 (−2|5| − 8) und fliegt zum Punkt
P2 (2|5| − 8), während das Zweite zur selben Zeit am Punkt Q1 (−1|1| − 5) ist und zum
Punkt Q2 (−1|9| − 11) fliegt.
a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der Flugzeuge schneiden und berechnen Sie den
Schnittpunkt.
b) Untersuchen Sie, ob die Flugzeuge gleichzeitig diesen Schnittpunkt erreichen, wenn sie
mit derselben Geschwindigkeit fliegen.
c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Flugbahnen der Flugzeuge?
Aufgabe 2: (PrüfungWS2003/04,
2.2a) Gegeben sei der Punkt A(1|0| − 1) so wie

 Aufgabe

1
1



2
die Gerade g : ~x =
+λ 3  ;
λ ∈ IR
1
−1
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E durch A und g!
Aufgabe 3: (Prüfung ITB, SS 2004, Aufgabe 2.3a) Gegeben sei die Ebene E1 : 2x − y +
3z − 1 = 0. Bestimmen Sie k so, dass der Punkt P (−1|k|1) in der Ebene E1 liegt.
Aufgabe 4: (Prüfung
Aufgabe 5a) Gegeben sind die beiden Ebenen
  SS 2003,
 
1
2



E1 : ~x = λ 0 + µ −1 ;
λ, µ ∈ IR
−1
1
und E2 : 2x − y + z − 1 = 0.
Zeigen Sie, dass die Ebenen E1 und E2 aufeinander senkrecht stehen.
Aufgabe 5:Gegeben
seien die beiden Geraden g1 und
2:

 g
1
1
g1 : s · 1
g2 : t · 1
k
0
a) Für welche Werte des Parameters k schließen die beiden Geraden g1 und g2 einen
Winkel von π4 ein?
b) Welchen gemeinsamen Punkt haben die beiden Geraden?
Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Parameterdarstellung folgender Kurven in der Ebene.
a) Verbindungsgerade von (0|1) nach (1|0).
b) Kreis um (2|1) mit Radius 3 (Orientierung entgegen dem Uhrzeigersinn).
c) Ellipse um (1|1) mit Halbachsen a = 2 und b = 4 (Orientierung entgegen dem Uhrzeigersinn).
d) Kurve von (−1| − 1) nach (1|1) längs der kubischen Parabel y = x3 .
Aufgabe 7: Gegeben ist die Kurve C in Parameterdarstellung:
x = sin t ,
y = cos2 t ;
− π2 ≤ t ≤ π2
a) Lässt sich die Kurve C auch explizit als Funktion y = f(x) darstellen?
b) Skizzieren Sie die Kurve C.
c) Welche Kurve ergibt sich für den Parameterbereich
π
2
≤t≤
3π
2