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Inhaltsverzeichnis
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A. Mengen
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B. Rationale und Reelle Zahlen ..........................................................................
- Betrag ......................................................................................................
.................................................................................................
- Intervalle
C. Gleichungen
.................................................................................................
1. Lineare Gleichung ....................................................................................
2. Quadratische Gleichung ............................................................................
....................................................................................
3. Betragsgleichung
D. Ungleichungen ..............................................................................................
E. Potenzen, Wurzeln, Logarithmus ..................................................................
.........................................................................................
- Potenzgesetze
.................................................................................
- Logarithmengesetze
F. Winkelfunktionen
.........................................................................................
..............................................................................................
- Bogenmaß
.................................................................................
- Additionstheoreme
.........................................................................
- Sinussatz / Cosinussatz
G. Vollständige Induktion
..............................................................................
H. Binomialkoeffizienten, Kombinatorik
.......................................................
................................................................................................
- Fakultät
.................................................................................
- Binomische Formel
.........................................................................................
- Kombinatorik
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I Grundlagen
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II Lineare Algebra
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A. Determinanten
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- Regel von Sarrus
...............................................................
- Rechenregeln für Determinanten
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B. Vektoren
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....................................................................
- Rechenregeln für Vektoren
.........................................................................................
- Skalarprodukt
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- Zwischenwinkel zweier Vektoren
.........................................................................................
- Vektorprodukt
............................................................................................
- Spatprodukt
C. Geometrische Anwendung der Vektorrechnung ...........................................
.....................................................
1. Vektorielle Darstellung einer Geraden
........................................................
2. Vektorielle Darstellung einer Ebene
..................................................................................
3. Gerade und Ebene
D. Matrizen
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1. Grundlagen
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2. Rechenregeln
3. Weitere Begriffe für quadratische Matrizen ................................................
.......................................................................................
4. Anwendungen
E. Lineare Gleichungssysteme
..........................................................................
............................................................................................
1. Grundlagen
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2. Lösungsschema
..................................................................................
3. Gauß-Algorithmus
..................................................................................
4. Allgemeine Sätze
...........................................
5. Matrizeninversion mit dem Gauß-Verfahren
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A. Funktionsbegriff
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B. Folgen und Reihen
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C. Grenzwert von Funktionen
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D. Stetigkeit von Funktionen
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A. Die Ableitung
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B. Ableitungsregeln
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- Umkehrfunktion
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- e-Funktion
C. Das Newton-Verfahren
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D. Regel von l’ Hospital
.................................................................................
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III Funktionen
IV Differentialgleichung
V Integralrechnung
..............................................................................................
A. Der Integralbegriff
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B. Der Hauptsatz der Differential- und Intergralrechnung ................................
C. Das Unbestimmte Integral ............................................................................
D. Integrationsmethode
....................................................................................
...............................................................
1. Elementare Integrationsregeln
...............................................................................
2. Partielle Integration
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3. Integration durch Substitution
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4. Spezialfälle
E. Uneigentliche Integrale
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- Bedeutung in der Technik
F. Numerische Integration
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1. Trapez-Regel
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2. Simpson-Regel
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3. Bode-Regel
G. Anwendung der Integralrechnung
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1. Flächenberechnung
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2. Bogenlänge
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3. Rotationskörper
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I Grundlagen
A. Mengen:
Definition 1: Eine Menge ist eine Zusammenfassung voneinander verschiedener Objekte der Anschauung
oder des Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.
Definition 2: x ∈ M heißt: x ist Element der Menge M
x ∉ M heißt: x ist nicht Element der Menge M
Darstellungsformen von Mengen:
(1) M = {1;2;3}
aufzählend
(2) M = {x | x ist eine Quadratzahl}
beschreibend
(3) 2 ∈ M, 7 ∈ M ∧ x,y ∈ M ⇒ x + y ∈ M rekursiv
Definition 3: (1)
(2)
(3)
0
:= {1;2;3;4;…}
:= {0;1;2;3;…}
:= {…;-3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Menge der Natürlichen Zahlen
Menge der erweiterten Natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Definition 4: Die Leere Menge ∅ = { } enthält keine Elemente
Definition 5: Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten
Definition 6: (1) A heißt Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist
A⊂B
(2) A ⊄ B, falls nicht A ⊂ B
(3) A ⊃ B, falls B ⊂ A
Anmerkung: A ⊂ B, falls ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
∀ - für alle
Satz 1:
A, B, C seien beliebige Mengen, dann gilt
(1) A ⊂ A
Reflexivität
(2) A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Transitivität
(3) A ⊂ B, B ⊂ A ⇒ A = B
(4) ∅ ⊂ A
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
(2) Schnitt:
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
(3) Differenz:
A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
(4) Komplement: es sei A ⊂ M, Ā = CM(A) := M\A
Definition 7: (1) Vereinigung:
Satz 2:
(1) Kommutativität: A ∪ B = B ∪ A
A∩B=B∩A
(2) Assoziativität: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(3) Distributivität: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(4) es sei A, B, C ⇒ A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B
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(Regeln von De Morgan)
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B. Rationale und Reelle Zahlen:
m
Menge der rationalen Zahlen
| m ∈ ,n ∈ }
n
Anmerkung: Gleichheit in durch Rückführung auf Gleichheit in
m1 m 2
=
⇔ m1n 2 = m 2 n1
n1
n2
Definition 1:
:= {
Rechengesetze in :
(1) es sei a, b, c ∈ ⇒ a + b ∈ und a * b ∈
(2) Kommutativität:
a + b = b + a, a * b = b * a
(3) Assoziativität:
(a + b) + c = a + (b + c), (a * b) *c = a * (b * c)
(4) Distributivität:
a * (b + c) = a * b + a * c
(5) Neutrales Element: n = 0 bzgl. „+“ ⇒ a + 0 = a
n = 1 bzgl. „*“ ⇒ a * 1 = a
(6) Inverses Element: Zu a existiert (-a) mit a + (-a) = 0
Zu a ≠0 existiert a-1 (1/a) mit a + a-1 = 1
Anmerkung1: Diese Rechengesetze heißen auch „Körper“ oder „Körperaxiome“ (siehe Mathematik II)
Anmerkung2: a - b := a + (-b)
a/b := a * b-1 = a * 1/b für b ≠ 0
Beweis für Reelle Zahlen:
2∉
Behauptung:
Annahme:
Beweis:
2∈
⇒
2=
p
, für q ≠ 0 ∧ p, q sind Teilerfremd
q
p
p2
⇒ 2 = 2 ⇒ 2 q 2 = p 2 (∗)
q
q
2
⇒ p ist gerade, da 2q2 gerade
nach H.S. 2 ⇒ p ist gerade
⇒ p = 2p‘ ⇒ p2 = 4p‘2
in (∗) ⇒ q2 = 4p‘2
⇒ q2 = 2p‘2 ⇒ q2 ist gerade ⇒ q ist gerade (nach H.S. 2) ⇒ q = 2q‘
p 2 p'
Insgesamt:
=
⇐ führt zum Widerspruch
q 2 q'
p
⇒ Die Annahme 2 =
ist falsch ⇒ 2 ∉
q
2=
Hilfssatz 1: Behauptung: n sei ungerade ⇒ n2 ist ungerade
Beweis:
n ist ungerade ⇒ n = 2k + 1
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k +1
da 4k2 + 4k immer gerade ⇒ 4k2 + 4k +1 ist immer ungerade
Hilfssatz 2: Behauptung: n2 sei gerade ⇒ n ist gerade
Annahme:
n sei nicht gerade
Beweis:
⇒ n2 ist ungerade ⇐ führt zum Widerspruch
⇒ n ist gerade
Definition 2:
:= {x | x ist eine Dezimalzahl}
Anmerkung: (1) ⊂ ⊂ ⊂
(2) / = {x | x ist eine nicht periodisch Dezimalzahl} Irrationale Zahl
(3) für gelten die selben Rechengesetze wie für
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Definition 3: Der Betrag von x ∈
sei
│ x, für x ≥ 0 │
│-x, für x < 0 │
|x| =
Grafische Darstellung:
Satz2:
(1) | a | = | -a | ≥ 0
|a|=0 ⇔ a=0
(2) | a * b | = | a | * | b |
(3) | a + b | ≤ | a | + | b | ⇒ Dreiecksgleichung
Beweis zu (3): Fall 1: a + b ≥ 0
Es gilt immer a ≤ | a |, b ≤ | b |
⇒ |a+b|=a+b=|a|+|b|
Fall 2: a + b < 0
Es gilt -a ≤ a, -b ≤ b
⇒ | a + b | = - ( a + b ) = ( -a ) + ( -b ) = | a | + | b |
Anmerkung: | a | ist der Abstand des Punktes a auf der Zahlengeraden zum Ursprung.
Berechnung eines Punktabstandes auf der Zahlengeraden: | a - b |
Definition 4: Abstand zwischen a und b ist d(a,b) := | a - b |
=
│ a - b, falls a ≥ b │
│ b - a, falls a < b │
Satz 3:
(1) d(a,b) ≥ 0 ⇒ Abstand kann nicht negativ sein
(2) d(a,b) = d(b,a) ⇒ Symmetrie des Abstandes
(3) d(a,b) ≤ d(a,c) + d(c,b) ⇒ Entweder ist der Weg über c länger oder minimal genauso lang wie
zwischen a und b: Dreiecksgleichung
Metriken bedeuten Abstandsbegriffe, welche oben genannt sind.
Anmerkung: Ein Ausdruck d(a,b) mit diesen Eigenschaften heißt Metrik.
Beweis zu (2): | a - b | = | -1 * ( b - a ) | = | -1 | * | b - a | = | b - a |
Beweis zu (3): d(a,b) = | a - b | = | a - c + c - b | ≤ | a -c | + | c - b | = d(a,c) + d(c,b)
Intervallschreibweise und spezielle Teilungen von :
(1) Endliches Intervall
[a,b] = { x | a ≤ x ≤ b }
(a,b) = ]a,b[ = { x | a < x < b }
[a,b) = { x | a ≤ x < b }
(a,b] = { x | a < x ≤ b }
abgeschlossenes Intervall
offenes Intervall
Halboffenes Intervall
(2) Unendliches Intervall
[a,∞) = { x | x ≥ a }
(-∞,a) = { x | x < a }
(-∞,∞) =
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C. Gleichungen:
1. Lineare Gleichungen:
(a≠0)
b
Lösung: x = −
a
Gerade: y = mx + b
ax + b = 0
2. Quadratische Gleichungen:
ax2 + bx - c = 0 ( a ≠ 0 )
b
c
⇒ x2 + x +
=0
a
a
b
c
Abkürzungen: p = , q =
a
a
Normale Form: x2 + px + q = 0
Lösung:
x1,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
2
x1,2 = −
p
 p
±   −q
2
2
Herleitung mit Quadratischer Ergänzung:
Normale Form ⇒
x2 + px + q = 0
2
2
2
2
p  p

x +  −  + q = 0
2 2

p

 p
x +  =   −q
2

2
2
x+
p
 p
=   −q
2
2
2
p
 p
±   −q
2
2
b
c
Mit p = , q =
a
a
x=−
x1,2 = −
b
b2
c
±
−
2
a
2a
2a
x1,2 = −
b
b 2 − 4ac
±
2a
(2a )2
x1,2 = −
b
b 2 − 4ac
±
2a
2a
Fall-Unterscheidung:
│ > 0 : zwei verschiedene reelle Lösungen
2
 p
  −q
2
│ = 0 : eine ( doppelte ) reelle Lösung
│ < 0 : keine reelle Lösung
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3. Betragsgleichungen:
Beispiel: | x - 2 | = x2
Dann gilt: | x - 2 | =
Fallunterscheidung:
│x – 2,
falls x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 │
│– (x – 2), falls x – 2 < 0 ⇒ x < 2
│
(1) x - 2 ≥ 0
x - 2 = x2 ⇒ x2 - x + 2 = 0 ⇒ x1,2 =
1
7
± −
keine reelle Lösung
2
4
(2) - x + 2 = x2 ⇒ x2 + x - 2 = 0 ⇒ x1,2 = −
1
9
±
⇒ x1 = 1 ∧ x2 = -2
2
4
D. Ungleichungen:
Definition 1: Eine Verknüpfung zweier algebraischer Ausdrücke durch eines der Relationszeichen
>, <, ≥, ≤, ≠ heißt Ungleichung.
Umformung von Ungleichungen:
Relationszeichen ändert sich nicht bei
(1) Addition bzw. Subtraktion eines beliebigen Termes auf beiden Seiten.
(2) Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl auf beiden Seiten.
Relationszeichen ändert sich bei
(1) Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl auf beiden Seiten.
> wird zu <
≥ wird zu ≤
< wird zu >
≤ wird zu ≥
E. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen:
In ab = c eine Unbekannte. Es sei x gesucht:
Potenz: ab = x ; Wurzel: xb = c ⇒ x =
c ; Logarithmen: ax = c ⇒ x = log a c
b
Definition 1: Potenz mit ganzzahligen Exponenten
Es sei a ∈ , n ∈
an := a1 * a2 * … * an
a0 := 1
1
a −n = n für a ≠ 0
a
Potenzgesetze:
Es sei n , m ∈
(1) a n * a m = a n + m ;
an
am
(2) a n + b n = (a * b) n ;
= a n −m
a
= 
n
b
b
an
n
(3) (a n ) m = a n*m
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Definition 2: Es sei a ≥ 0, n ∈
n
a ist die Zahl x mit xn = a
Anmerkung:
( a)
n
n
= a ⇔ n an = a
Definition 3: Potenzen mit rationalen Exponenten
Es sei a > 0, m ∈ , n ∈
m
a n := n a m
1
Anmerkung:
(1) Speziell: a n = n a
(2) Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten
(3) Definition von Potenzen mit irrationalen Exponenten mit Hilfe einer
„Näherung“ durch rationale Exponenten
Definition 4: Logarithmus
Es sei a, b > 0,
log b a ist eine Zahl x mit bx = a
Spezielle Basen ergeben spezielle Logarithmensysteme:
lg a = log 10 a
ln a = log e a
ld a = lb a = log 2 a
dekadischer Logarithmus
natürlicher Logarithmus (e := Eulersche Zahl)
dualer-/binärer Logarithmus
Satz 1:
(1) log b (bx) = x
(2) b log bx = x
Logarithmengesetze:
Es sei b, c, d > 0, b ≠ 1, r ∈
(1) log b (c * d) = log b c + log b d
c
(2) log b   = log b c - log b d
d 
(3) log b (cr) = r log b c
Beweis zu
(1) x = log b c ⇔ bx = c
y = log b d ⇔ by = d
c * d = bx * by = bx + y ⇔ log b (c * d) = x + y = log b c + log b d
x
c
c b
(2)   = y = b x * b − y = b x − y ⇔ log b   = x - y = log b c - log b d
d 
d  b
(3) cr = (bx) r = bx * r ⇔ log b (cr) = r * x = r * log b c
Satz 2:
Umrechnung auf eine andere Basis
log b x
log a x =
log b a
Beweis:
k = log a x ⇔ ak = x
log b ak = log b x = k * log b a ⇒ k =
log b x
= log a x
log b a
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F. Winkelfunktionen:
Satz des Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Beweis:
c2 = (a + b)2 - 4 * ½ ab
= a2 + 2ab + b2 - 2ab
= a2 + b 2
Definition der Winkelfunktion:
Im rechtwinkligen Dreieck:
sin α =
a
c
1
a sin α
c
; cos α = ; tan α = =
; cot α = =
b
b
c cos α
a tan α
Erweiterung auf beliebige Winkel α durch Definition im Einheitskreis:
Für beliebige Winkel α gilt
(1) sin α + cos2 α = 1
sin α
für cos α ≠ 0
(2) tan α =
cosα
c
1
(3) cot α = =
für sin α ≠ 0
a tan α
Satz 2:
2
Beweis:
Mit Satz des Pythagoras und Strahlensatz
Bogenmaß:
x ist die Länge des Kreisbogens auf
Den Einheitskreis zum Zentriwinkel α
360° ⇔ 2π
180° ⇔ π
π
90° ⇔
2
Umrechnung (α in Gradmaß, x in Bogenmaß)
π
180°
x
x=
α
α=
π
180°
Satz 3:
Eigenschaften der Winkelfunktionen
(1) Periodizität:
sin (x + 2π) = sin x
cos (x + 2π) = cos x
tan (x + π) = tan x
∀x∈
∀x∈
∀x∈
∀x∈
π
+ nπ , n ∈ }
2
\ {x | cos x = 0}
\ {x | x =
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(2π - periodisch)
(2π - periodisch)
(π- periodisch)
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(2) Symmetrie:
sin (-x) = - sin x
cos (-x) = cos x
tan (-x) = - tan x
(3) Nullstellen:
sin (xn) = 0 ⇔ xn = nπ
π
cos (xn) = 0 ⇔ xn = + nπ
2
tan (xn) = 0 ⇔ sin (xn) = 0
(n ∈ )
(n ∈ )
(4) Pole:
tan (xn) = ±∞ ⇔ cos (xn) = 0
Beweis:
Ablesbar durch die Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis.
π

Anmerkung: cos x = sin  x + 
2

π

sin x = cos  x − 
2

Additionstheoreme:
sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin β
cos (α ± β) = cos α * cos β m sin α * sin β
tan α ± tan β
tan (α ± β) =
1 m tan α * tan β
Beweis: Geometrie
a b+c c b c d b e
=
= + = * + * = sin α * cos β + cos α * sin β
r
r
r r d r e r
sin (α - β) = sin (α + (-β)) = sin α * cos (-β) + cos α * sin (-β) = sin α * cos β - cos α * sin β
π
π
π
π
cos (α + β) = sin ([α + β] + ) = sin (α + [β + ]) = cos α * sin (β + ) + sin α * cos (β + )
2
2
2
2
π
= cos α * cos β + sin α * cos (-β - ) = cos α * cos β - sin α * sin β
2
cos (α - β) = cos (α + (-β)) = cos α * cos β + sin α * sin β
1
sin(α ± β ) sin α * cos β ± cos α * sin β cos α * cos β
tan α ± tan β
=
=
tan (α ± β) =
*
1
1 m tan α * tan β
cos(α ± β ) cos α * cos β m sin α * sin β
cos α * cos β
Anmerkung: α = β = x
sin(2x) = 2sin x * cos x
cos(2x) = cos2x - sin2x
sin (α + β) =
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Für beliebige, schiefwinklige Dreiecke gilt:
Sinussatz:
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
Beweis: Für spitzwinklige Dreiecke
h
h
sin α = ; sin β =
b
a
sin α sin β
=
b * sinα = h = a * sinβ ⇒
a
b
Cosinussatz:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosγ
G. Vollständige Induktion
∀ n ∈ sei eine Aussage A(n) definiert
Zu zeigen: A(n) ist richtig für alle n
n (n + 1)
Beispiel: 1 + 2 + … + n =
2
Zu zeigen: Gültigkeit der Formel für jedes ∈
Beweismethode der vollständigen Induktion
Man beweist
1. A(1) ist richtig
2. A(n) ist richtig ⇒ A(n + 1) ist richtig
Induktionsannahme
n
Beispiel1:
∑ k = 1 + 2 + ... + n =
k =1
Induktionsanfang/-verankerung
Induktionsschritt
n (n + 1)
2
1. A(1) Induktionsanfang:
1
Für n = 1 gilt:
∑k = 1 =
k =1
1(1 + 1)
=1
2
2. A(n) ⇒ A(n + 1) Induktionsschritt:
n
Annahme: Es gilt
∑k =
k =1
n
n (n + 1)
2
∑ k ==
Zu zeigen: Es folgt
(n + 1)(n + 2 )
k =1
n +1
Beweis:
n
∑ ∑k + n +1 =
k=
k =1
n
Beispiel2:
∑k
k =1
2
2
n (n + 1)
n (n + 1) + 2(n + 1) (n + 1)(n + 2 )
+ n +1 =
=
2
2
2
= 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 =
k =1
n ( n + 1)( 2n + 1)
6
1. A(1) Induktionsanfang:
1
Für n = 1 gilt
∑k
k =1
2
=1=
1(1 + 1)( 2 + 1)
=1
6
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2. A(n) ⇒ A(n + 1)Induktionsschritt:
n
Annahme: Es gilt
∑k
2
=
n( n + 1)( 2n + 1)
6
2
=
k =1
n +1
Zu zeigen: Es folgt
∑k
k =1
n +1
Beweis:
n
∑k = ∑k
2
k =1
2
+ ( n + 1) 2 =
k =1
=
( n + 1)( n + 2)( 2n + 3)
6
n (n + 1)( 2n + 1)
n ( n + 1)( 2n + 1) + (n + 1)( n + 1)
+ ( n + 1) 2 =
6
6
(n + 1)( n ( 2n + 1) + 6( n + 1)) (n + 1)( 2n 2 + 7n + 6) ( n + 1)( n + 2)( 2n + 3)
=
=
6
6
6
n n2 n3
+
+
∈
6 2
3
d.h. n + 3n2 + 2n3 ist durch 6 teilbar ∀ n ∈
Beispiel3: ∀ n ∈
gilt
1. A(1) Induktionsanfang
n = 1 ⇒ 1 + 3 * 12 + 2 * 12 = 6 durch 6 teilbar
2. A(n) ⇒ A(n + 1) Induktionsschritt
Annahme: n + 3n2 + 2n3 ist durch 6 teilbar
Zu zeigen: n + 1 + 3(n + 1)2 + 2(n + 1)3 ist durch 6 teilbar
Beweis:
n + 1 + 3(n + 1)2 + 2(n + 1)3 = n + 1 + 3n2 + 6n + 3 + 2n3 + 6n2 + 6n + 2
= (n + 3n2 + 2n3) + 6n2 + 12n + 6 ⇒ insgesamt durch 6 teilbar
Beispiel4: Eine n - elementige Menge M hat 2n Teilmengen
1. A(1) für n = 1 hat M genau 21 = 2 Teilmengen
2. A(n) ⇒ A(n + 1)
Sei M eine Menge mit n + 1 Elementen
a ∈ M sei beliebig. Sei M‘ = M\{a}
⇒ M‘ hat 2n Teilmengen T1 , T2 , … , Tn
⇒ Teilmengen von M, die a enthalten, sind T1 ∪ {a}, T2 ∪ {a}, … , T2n ∪ {a}
⇒ insgesamt 2 * 2n = 2n + 1 Teilmengen von M
H. Binomialkoeffizienten
, Kombinatorik
Definition1: (1) n! := 1 * 2 * 3 * … * n für n ∈
n - Fakultät
0! := 1
n
n!
(2)   =
(0 ≤ k ≤ n ; k,n ∈ ) n über k
k
−
(
n
k )!*k!
 
Rekursive Definition von n! durch 0! := 1
n! := (n - 1)! * n
für n ∈
 n  n * ( n − 1) * ... * (n − k + 1)
Anmerkung:   =
k!
k 
⇐ gleiche Anzahl Faktoren im Zähler wie im Nenner
⇐ Geeigneter für die Berechnung für große n
–13–
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Binomische Formel:
(a + b)0 = 1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)1 = a + b
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Pascalsche Dreieck:
n
0
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
1
|
k=0
2
3
4
5
|
1
1
3
1
6
10
|
2
4
10
|
3
1
5
|
4
1
|
5
Im Pascalschen Dreieck: Die Koeffizienten der binomischen Formel entsprechen den Binomialkoeffizienten
Binomische Formel:
 n  1 n −1  n  0 n
n
n
a b +  a b
(a + b) n =  a n b 0 +  a n −1b1 + ... + 
 n − 1
n
0 
1 
n
( a + b) n =
n
∑  k a
n −k
bk
k =0
Beweis der binomischen Formeln:
1. A(0) Induktionsanfang
für n = 0 ist (a + b)0 = 1
0
0
b = a 0−0 b 0 = 1
0
k =0
2. A(n) ⇒ A(n + 1) Induktionsschritt
0 
∑  k a
0−k k
Annahme: Es gilt (a + b)n =
n
n
∑  k a
n−k k
b
k =0
Zu zeigen: Es folgt (a + b)n + 1 =
n +1
 n + 1 n +1−k k
a
b

k =0
∑  k
n
n
∑  k a
Beweis: (a + b)n + 1 = (a + b)n * (a + b) =
n −k
b k * ( a + b)
k =0
n
n
 n  n +1−k k
 n  n − k k +1
n
 a
 a b
=
=  a n +1− k b k +
b +
k
k
k
k =0  
k =0  
k =0  
n
∑
= a n +1 +
∑
∑
 n  n +1−k k
 n  n +1−k k
 a
a
b + b n +1 + 
b
k
k − 1
k =1  
k =1 
n
n
∑
= a n +1 + b n +1 +
∑
n
 n   n

∑  k  +  k − 1a
k =1
= a n +1 + b n +1 +
=
 n + 1 n +1−k k
b
a

k =1
n
∑  k
n +1
 n + 1 n +1− k k
a
b

k =0
∑  k
–14–
n +1− k k
b
n +1
n

∑  k − 1a
k =1
n − ( k −1) k
b
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Satz 1:
(1)
(2)
Eigenschaften von Binomialkoeffizienten
n n
  =   = 1
0  n 
n n 
 = n
  = 
1   n − 1 
n n

  = 

k
n
k
−
  

 n   n   n + 1

 = 
(4)   + 
 k   k + 1  k + 1
Anmerkung: Siehe anschaulich am Pascalschen Dreieck
(3)
Beweis zu Satz 1:
Zu (1), (2), (3): Folgt unmittelbar aus Definition 1. (2)
n n 
n!
n!
n! (k + 1)
n! ( n − k )
 =
Zu (4):   + 
+
=
+
 k   k + 1 (n − k )!*k! (n − k + 1)!*( k + 1)! (n − k )!*( k + 1)! (n − k )!*( k + 1)!
 n + 1
n! (k + 1 + n − k )
(n + 1)!
(n + 1)!

=
=
=
= 
(n − k )!*( k + 1)! (n − k )!*( k + 1)! ( n + 1 − (k + 1))!*( k + 1)!  k + 1
Satz 2:
Es sollen k Positionen P1, … , Pk vorliegen
Es gibt n1 Möglichkeiten P1 zu belegen
Es gibt n2 Möglichkeiten P2 zu belegen
usw.
Es gibt nk Möglichkeiten Pk zu belegen
Dann gibt es insgesamt n1 * n2 * … * nk Belegungen der Positionen P1, … , Pk
Beweis:
1. A(1) Induktionsanfang
Satz gilt für k = 1
2. A(k) ⇒ A(k + 1) Induktionsschritt
Annahme: Satz gilt für k
Zu zeigen: Gültigkeit für k + 1
Ergänzen die Positionen P1, … , Pk um Pk +1
Beweis: Es gibt n1 * n2 * … * nk Belegungen für P1, … , Pk
Zu jeder Belegung kommen nk + 1 Belegungen von Pk + 1
⇒ Es gibt insgesamt n1 * n2 * … * nk + 1 Belegungen der Positionen P1, … , Pk + 1
Bezeichnungen:
Paar:
(a1 , a2) ≠ (a2 , a1)
Tripel:
(a1 , a2 , a3)
n-Tupel: (a1 , a2 , … , an)
! Reihenfolge wesentlich (geordnet) !
Allgemein: ai = aj (i ≠ j) erlaubt
Anmerkung: Bezeichnung für n-Tupel mit ai ≠ aj (i ≠ j) heißt auch:
Geordnete Menge [a1 , a2 , … , an]
Definition 2: Eine n-stellige Permutation ist eine Anordnung von n verschiedenen Elementen zu einem
n-Tupel.
p(n) bezeichnet die Anzahl aller n-stelligen Permutationen
–15–
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Beispiel:
Satz 3:
Elemente a, b, c
Permutation: (a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)
p(3) = 6
Lexikografische Anordnung
p(n) = n!
Definition 3: Es sei M eine Menge mit n Elementen
Variation k-ter Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung ist ein
k-Tupel (a1 , … , ak) mit ai ≠ aj (i ≠ j)und a1 , … , ak ∈ M mit k ≤ n.
Anmerkung:
Aus n verschiedenen Elementen werden k herausgegriffen, wobei die
Reihenfolge der Ziehung berücksichtigt wird.
Definition 4: v(n , k) bezeichnet die Anzahl aller Kombinationen k-ter Ordnung von
n Elementen ohne Wiederholung
Satz 4:
Beweis:
n
n!
=   * k!
(n − k )!  k 
Besetzen die Positionen des k-Tupels mit verschiedenen Elementen einer n-elementigen Menge
1. Position n
Möglichkeiten der Belegung
2. Position n - 1 Möglichkeiten der Belegung
usw.
k. Position n - k Möglichkeiten der Belegung
⇒ (nach Satz 2) n * (n - 1) * … * (n - (k - 1)) Möglichkeiten insgesamt
v(n , k) = n * (n - 1) * … * (n - (k - 1)) =
Beweis zu Satz 3: p(n) = v(n , n) = n!
Definition 5: Eine Variation k-ter Ordnung von n Elementen mit Wiederholung ist ein
k-Tupel (a1 , … , ak) aus Elementen einer n-elementigen Menge.
Anmerkung:
(1) ai = aj (i ≠ j) ist zulässig
(2) Bezeichnung auch: Wörter mit k Länge aus n Zeichen
Definition 6: v*(n , k) bezeichnet die Anzahl aller Variationen k-ter Ordnung von
N Elementen mit Wiederholung
Satz 5:
v*(n , k) = nk
Beweis:
1. Position n Möglichkeiten der Belegung
2. Position n Möglichkeiten der Belegung
usw.
k. Position n Möglichkeiten der Belegung
⇒ (nach Satz 2) insgesamt nk Möglichkeiten
Definition 7: Eine Kombination k-ter Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung ist eine
k-elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge.
c(n , k) bezeichne die Anzahl aller solchen Teilmengen
Beweis:
n
c(n , k) =  
k 
c(n , k) * k! = v(n , k),
Satz 7:
Eine Menge mit n Elementen hat 2n Teilmengen
Beweis:
n n n
n
  +   +   + ... +   =
0
1
2
     
n
Satz 6:
da (nach Satz 3) eine k-elementige Menge zu p(k) = k! verschidene k-Tupel
angeordnet werden kann
v ( n, k )  n 
=   (nach Satz 4)
⇒ c(n , k) =
k!
k 
n
  =
k
k =0  
n
∑
n
n
∑  k 1
n−k
k =0
–16–
* 1k = (1 + 1) n = 2 n
nach binomischen Formeln
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II Lineare Algebra
A. Determinanten:
Zur Einführung ein Lineares Gleichungssystem mit Unbekannten x und y
 ax + by = r  * d
 cx + dy = s  * (-b)
(ad - bc) = rd - bs
dr − bs
, falls Nenner ≠ 0
ad − bc
as − cr
, falls Nenner ≠ 0
Analog:
⇒ y=
ad − bc
Bezeichnung für den Wert des Nenners: Determinante
⇒ x=
Schreibweise: D =  a b = ad - bc
c
d
Definition 1: Eine Determinante ist ein quadratisches Zahlenschema, das eine Zahl darstellt, die
folgendermaßen bestimmt wird:
(1) Determinante 1. Ordnung
|a|=a
! nicht zu verwechseln mit der Betragsgleichung !
(2) Determinante 2. Ordnung:
a b  = ad – bc
c d 
(3) Determinante 3. Ordnung:
a b c 
e f
d
d e f  = a
-b
h i
g
g h i 
Anmerkung:
f
+c
i
d
g
e
h
Analog für höhere Ordnung
Bezeichnung:
 a11
a12
a13  ←
 a21
a22
a23  ← Zeile
 a31
a32
a33  ←
↑
↑
Spalte
↑
Hauptdiagonale
Element ai k ist aus Zeile i und Spalte k
Anmerkung:
In Determinanten statt Zahlen auch Variablen, Formelterme usw. möglich
–17–
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Regel von Sarrus: Bei Determinanten 3. Ordnung neben Rechnung und Definition 1 andere Methode:
 a1 1

 a2 1

 a3 1
-
a3 2
a1 3  a1 1

a2 3  a2 1

a3 3  a3 1
-
- +
a1 2
a2 2
a1 2
a2 2
a3 2
+
+
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33
Nach Definition 1 ist:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a11
a 22
a 23
a 32
a 33
− a12
a 21
a 23
a 31
a 33
+ a13
a 21
a 22
a 31
a 32
a 31 a 32 a 33
D = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31
Definition 2: Die Unterdeterminante Di k einer Determinanten D entsteht durch Streichen
der i-ten Zeile und der k-ten Spalte
 a1 1
 a2 1
 usw.
 ai 1
 usw.
 an 1
a1 2 …
a2 2 …
a1 k
a2 k
…
…
ai 2
…
ai k
…
an 2 …
an k
…
a1 n 
a2 n 

ai n 

an n 
Hat D die Ordnung n, so hat Di k die Ordnung n - 1
Anmerkung:
Neue Schreibweise für Definition 1 (3):
D = a 1 1 * D1 1 - a 1 2 * D1 2 + a 1 3 * D1 3
Entwicklung nach der 1. Zeile
Definition 3: Zu einer Determinanten D heißt das Produkt (-1)i + k * Di k die Adjunkte (oder das algebraische
Komplement) des Elements ai k. Symbol: Ai k
Anmerkung:
Entwicklung nach der ersten Zeile: D = a1 1 * A1 1 + a1 2 * A1 2 + a1 3 * A1 3
Anmerkung:
Wert von (-1)i + k mit „Schachbrettregel“:
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
Satz 1: Entwicklungssatz von Laplace
Berechnung einer Determinanten n-ter Ordnung mit den Elementen und Adjunkten einer beliebigen
Zeile bzw. Spalte.
Entwicklung nach der i-ten Zeile:
n
D = ai 1 * Ai 1 + ai 2 * Ai 2 + … + ai n * Ai n =
∑a
ik
Aik
k =1
Anmerkung:
D hat die Ordnung n ; Di k hat die Ordnung n - 1
Entwicklungssatz auf Di k angewandt gibt Determinanten der Ordnung n - 2 usw.
bis zu 3. (2., 1.) Ordnung, dann Berechnung mit bekannten Methoden.
–18–
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Anmerkung:
Günstig ist die Entwicklung nach Zeile bzw. Spalte mit vielen Nullen.
Nullen können vor der Entwicklung erzeugt werden.
Satz 2: Rechenregel für Determinanten
Sei D Determinante beliebiger Ordnung
(1) D wird mit einem Faktor λ multipliziert, indem eine Zeile bzw. Spalte mit λ multipliziert wird
(2) Werden zwei Zeilen bzw. Spalten von D vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen von D
(3) Sind zwei Zeilen bzw. Spalten von D zueinander proportional, so gilt: D = 0
(4) Der Wert von D ändert sich nicht, wenn ein beliebiges Vielfaches einer Zeile / Spalte zu einer
anderen Zeile / Spalte addiert wird.
Beweis zu Satz 2:
zu (1)
 a11 a12
D =  a21 a22
 a31 a32
a13 
a23  = a1 1 * A1 1 + a1 2 * A1 2 + a1 3 * A1 3
a33 
Analog für andere
Fälle und für
höhere Ordnung
bzw. λa11 λa12 λa13 
 a21 a22 a23  = λa1 1 * A1 1 + λa1 2 * A1 2 + λa1 3 * A1 3
 a31 a32 a33 
= λ ( a1 1 * A1 1 + a1 2 * A1 2 + a1 3 * A1 3) = λD
zu (2)
1. benachbarte Zeilen
 a11 a12 a13 
D =  a21 a22 a23  = a
 a31 a32 a33 
und
 a21 a22
 a11 a12
 a31 a32
a23 
a13  = -a
a33 
a22 a23
a32 a33
a22 a23
a32 a33
-b
a21 a23
a31 a33
-b
a21 a23
a31 a33
+c
+c
a21 a22
a31 a32
a21 a22
a31 a32
2. nicht benachbarte Zeilen
-- 1 --
-- 2 --
-- 2 --
-- 3 --
D = -- 2 -- ; - D = -- 1 -- ; D = -- 3 -- ; - D = -- 2 --
-- 3 --
-- 3 --
-- 1 --
-- 1 --1
Rückführung auf mehrere Vertauschungen benachbarter Zeilen (Andere Fälle analog)
zu (3)
-- 1 --
-- 1 --
-λ * 1 - = λ * -- 1 --
-- 3 --
-- 3 --
zu (4)
a12
a13

 a11
 a21+λa11 a22+λa12 a23+λa13 
a12
a13

 a11
= - (a21 + λa11)
a12 a13
a32 a33
Vertauschung von Zeile 1 und 2 ändert nach (2) das Vorzeichen.
Die Determinante ist identisch mit D, weil die Zeichen übereinstimmen
⇒ D = -D ⇒ D = 0 (Andere Fälle analog)
a11 a13
+ (a21 + λa12) a a 
31 33
= … Klammern ausmultiplizieren …
= … wieder auf Determinanten zurückführen …
 a11 a12 a13   a11
=  a11 a12 a13  + λa11
 a11 a12 a13   a11
=D
a12
a13 
λa12 λa13  = D
a12
a13 
= 0 (nach (3))
–19–
- (a21 + λa13)
a11 a12
a31 a32
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B. Vektoren
r
Definition 1: (1) Ein n-dimensionaler Vektor ist ein n-Tupel a = (a1, a2, …, an) mit a1, a2, …, an ∈
(2) Die a1, a2, …, an heißen Komponenten (Koordinaten) des Vektors
r
r
(3) a = b , falls ai = bi (i = 1, 2, …, n)
r
(4) 0 = (0, 0, …, 0) Nullvektor
Anmerkung:
Anmerkung:
 a1 
 
r
r  a2 
Schreibweise als Zeilenvektor a = (a1, a2, …, an) oder als Spaltenvektor a =  
....
 
a 
 n
Darstellung von 2- bzw. 3-dimensionalen Vektoren als gerichtete Strecken („Pfeile“)
In einer Ebene bzw. im Raum
a 
r
Ortsvektor von P: r ( P ) = OP =  1 
 a2 
× Q
P
×
r
a
PQ
r r
a = b Durch Parallelverschiebung ineinander überprüfbar
r
b
Anmerkung: Ein Vektor ist durch seine Länge und Richtung eindeutig festgelegt
Vektoraddition:
r
r
Diagonale im von a und b aufgespannten Parallelogramm:
r r a + b 
a + b =  1 1 
 a 2 + b2 
Multiplikation eines Vektors mit λ ∈ R
r
| λ | – fache Länge von a
r
λ > 0: gleiche Richtung wie a
r
λ < 0: entgegengesetzte Richtung wie a
r
Also: λ a = (λa1 , λa2)
r r
a ,b
n-dimensionale Vektoren. Sei λ ∈
r r
(1) a + b := (a1 + b1 , a2 + b2 , …, an + bn)
r
(2) λ a = (λa1 , λa2 , … , λan)
r
r
(3) - a := (-1) a = (-a1 , -a2 , … , -an)
r r
(4) a − b := (a1 - b1 , a2 - b2 , …, an - bn)
Definition 2: Seien
Anmerkung:
(Skalar)
Differenz, Subtraktion von Vektoren
r r r
r
b + (a − b ) = a
r
r
r r
⇒ a − b von b nach a
r
r r
oder: − b + a ausgehend von der Spitze von b
–20–
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Anmerkung:
r
r
a und b heißen zueinander parallel,
r
r
a und b heißen zueinander antiparallel,
r
r
a ↑↑ b , falls
r
r
a ↑↓ b , falls
r
r
a = λ b mit λ > 0
r
r
a = λ b mit λ < 0
r r
r r
r
a + b := (a1 + b1 , a2 + b2 , …, an + bn) und λ a = (λa1 , λa2 , … , λan) mit λ ∈
heißt der n-dimensionenle Vektorraum über
Definition 3: Die Menge der n-Tupel Vn = { a | a ist n-dimensionaler Vektor} mit der Operationen
Satz 1: Rechenregeln für Vektoren
r
r
r
Es seien a , b , c ∈ Vn und λ, µ ∈
r r
r
(1) a + b ∈ Vn , λ a ∈ Vn
r r r r
(2) a + b = b + a
r r r
r r r
(3) a + (b + c ) = ( a + b ) + c
r r r
(4) a + 0 = a
r
r
r
(5) a +(- a ) = 0
r
r
r r
(6) λ( a + b ) = λ a + λ b
r
r
r
(7) (γ + µ) a = λ a + µ a
kommutativ
assoziativ
neutrales Element
inverses Element
distributiv
distributiv
Beweis: Nachrechnen nach Definition 1 und Definition 2 und den Rechenregeln von
r
Definition 4: Sei a ∈ Vn
r
| a | :=
a12 + a 22 + ... + a n2 =
n
∑a
r
Betrag (Länge) von a
2
i
i =1
Anmerkung:
In V2 und V3 nach Satz des Pythagoras
Satz 2:
r
r
r r
(1) | a | ≥ 0 , | a | = 0 ⇔ a = 0
r
r
(2) | λ a | = | λ | * | a |
r
r
r r
(3) | a + b | ≤ | a | + | b |
Dreiecksgleichung
r
Beweis: zu(2) λ a = (λa1 , λa2 , … , λan)
r
r
| λ a | = ( λa12 + ... + λa n2 = λ2 + a12 + ... + a n2 =| λ | * | a |
zu (3) !!Beweis ist zu schwer und umfangreich!!
r
r
Definition 5: e ∈ Vn heißt Einheitsvektor, wenn | e | = 1
Anmerkung:
r
r r
r
r
a
Zu a ≠ 0 mit mit e = r Einheitsvektor in Richtung von a
|a |
r
r
r
r
1 r
1
| e |= r * a = r * | a |= 1 und e ↑↑ a
|a |
|a |
r
Schreibweise auch: ear
–21–
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Anmerkung:
Kartesische Einheitsvektor
1  r
0
r
In V2: e x =   , e y =  
0
 
1 
1 
0
0
  r
  r
 
r
In V3: e x =  0  , e y = 1  , e z =  0 
0
0
1 
 
 
 
r
r
r
r r r
oder e1 , e2 , e3 oder i , j , k
r
r
r
Rechtssystem: e z zeigt in Richtung der Bewegung eine Rechtsschraube, wenn e x auf kürzestem Wege in e y
gedreht wird.
r r
r
r
r
r
Definition 6: d (a , b ) =| a − b | heißt Abstand von a zu b (Vergleiche Differenz von Vektoren)
Satz 3:
r r
r r
r r
(1) d (a , b ) ≥ 0 , d (a , b ) = 0 ⇔ a = b
r r
r r
(2) d (a , b ) = d (b , a )
r r
r r
r r
Dreiecksungleichung
(3) d (a , b ) ≤ d (a , c ) + d (c , b )
Beweis zu:
r r
r r
(1) d (a , b ) =| a − b | ≥ 0 nach Satz 2
r r
r r r
r r
r r
d (a , b ) =| a − b | =0 ⇔ a − b = 0 ⇔ a = b
r r
r r r r
r r
r r
r r
(2) d (a , b ) =| a − b | = | ( −1)(b − a ) |=| −1 | * | b − a |=| b − a |= d (b , a )
r r
r r
r r r r r r
r r
r r
r r
(3) d (a , b ) =| a − b | = | a − c + c − b |≤| a − c | + | c − b |= d (a , c ) + d (c , b )
Bezeichnung:
r
r r
r
(b , a ) bezeichnet den a und b eingeschlossenen Winkel. Es gilt 0° ≤
r r
r r
r r
(b , a )
r
r
r r r
r
a ⋅ b =| a | * | b | * cos ϕ Skalarprodukt von a und b .
Definition 7: Sei a , b ∈ V2 oder Sei a , b ∈ V3 . Sei ϕ =
Anmerkung:
r r
r r
(1) a ⋅ b ∈ R, d. h. a ⋅ b ist ein Skalar
(2) Veranschaulichung:
oder
r r r r
kommutativ
r r r
r r r r
(2) a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
distributiv
r r
r r r r
(3) λ (a ⋅ b ) = (λa )b = a (λb ) mit λ ∈
Satz 4: (1) a ⋅ b = b ⋅ a
–22–
r r
(b , a ) ≤ 180°
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Beweis zu: (1) und (3) nach Definition 7.
Bei λ < 0 cos (180° - ϕ) = -cos ϕ
(2)
r r r
r
r
r
a ⋅ (b + c ) =| a | *(l1 + l 2 ) =| a | *l1 + | a | *l 2
r
r
r
a ⋅ b =| a | *l1
r r r
a ⋅ c =| a | *l 2
Satz 5:
r r r
Für a , b ≠ 0 gilt:
r r
r r
a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b
Beweis:
r
r r r
a ⋅ b =| a | * | b | * cos ϕ = 0 ⇔ ϕ = 90°
Anmerkung:
r
r
r r
a und b heißen orthogonale Vektoren, falls a ⊥ b
Allgemein:
r
r r r
r
r
r r
a ⋅ a =| a | * | a | * cos 0° =| a |2 ⇒ | a | = a ⋅ a
Satz 6:
r a  r b 
(1) Für a =  1  , b =  1 
 b2 
 a2 
r r
a ⋅ b = a 1 b1 + a 2 b 2
 b1 
 a1 
r   r  
(2) Für a =  a 2  , b =  b2 
b 
a 
 3
 3
r r
a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3
Beweis:
r r
r
r
r
r
zu (1) a ⋅ b = ( a1 e x + a 2 e y ) ⋅ (b1e x + b2 e y )
r r
r r
r r
r r
= a1b1e x e x + a1b2 e x e y + a 2 b1e y e x + a 2 b2 e y e y
= a1b1 + a 2 b2
zu (2) analog
r r r
r r
Sei a , b ≠ 0 , sei ϕ =
(a , b )
r r
 a ⋅b 

r 
Gilt: ϕ = arccos r
|
a
|
*
|
b
| 

Definition 8: Skalarprodukt und Zwischenwinkel in Vn
r
r r
r
Sei a , b ∈ Vn mit a = (a1, a2, …, an) , b = (b1, b2, …, bn)
Satz 7:
r r
(1) a ⋅ b := a1b1 + a2 b2 + ... + a n bn =
n
∑a b
i i
i =1
Anmerkung:
r r
 a ⋅b 
r r
r 
(a , b ) := arccos r
(2)

 | a |*| b |
r
r
r r
Sagen auch in Vn : a orthogonal zu b ⇔ a ⋅ b = 0
r r
(a , b )
r
r
r
r r r
Das Vektorprodukt c = a × b von a und b sei der Vektor c ∈ V3 mit
r
r
r
(1) | c | = | a | * | b | * sin ϕ
r r
r r
(2) c ⊥ a und c ⊥ b
r r r
(3) a , b , c bilden (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem
r r r
Definition 9: Sei a , b , c ∈ V3 , , sei ϕ =
–23–
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Anmerkung:
Satz 8:
(1)
(2)
(3)
Anmerkung:
r
r
r r
| a × b | = Flächeninhalt des von a und b aufgespanntem Parallelogramm
r
A = |a | * h
r
h
sin ϕ = r , h = | b | * sin ϕ
|b |
r
r
r r
⇒ A = | a | * | b | * sin ϕ = | a × b |
r r r
r r r r
a × (b + c ) = a × b + a × c
distributiv
r r r r r r r
(a + b ) × c = a × c + b × c
r r
r r
antikommutativ
a × b = −b × a
r
r r
r r r
λ (a × b ) = (λa ) × b = a × ( λb )
r r r
r r r
a × (b × c ) ≠ ( a × b ) × c
keine Assoziativität
Satz 9:
r r r r
Für a ≠ 0, b ≠ 0 gilt
r
r
r
r r r
r
a × b = 0 ⇔ a ↑↑ b oder a ↑↓ b
Beweis:
r
r r r
| a × b |=| a | * | b | * sin ϕ = 0 ⇔ ϕ = 0° oder ϕ = 180°
Anmerkung:
r
r
r
r
r
r
a und b heißen kolinear, falls a ↑↑ b oder a ↑↓ b
r r r r
a × a = 0 , a ∈ V3 beliebig
r r
r r r
r r r
r
ex × e y = ez , e y × ez = ex , ez × ex = e y
b 
 a1 
r  1
r  
Satz 10: Für a =  a 2  und b =  b2  gilt:
b 
a 
 3
 3
 a1   b1   a 2 b3 − a 3b2 

r r     
a × b =  a 2  ×  b2  =  a 3b1 − a1b3 
a  b  a b − a b 
2 1 
 3  3  1 2
Beweis:
Mit Satz 8 und 9
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
a × b = (a1e x + a 2 e y + a 3 e z ) × b = (a1e x ) × b + (a 2 e y ) × b + ( a 3 e z ) × b
r
r
r r
s r
r
r
r
⇐ (a1e x ) × b = a1 (e x × b ) = a ( e x × (b1e x + b2 e y + b3 e z ))
r r
r r
r r
= a1 (b1 (e x × e x ) + b2 (e x × e y ) + b3 (e x × e z ))
r
r
r
= a1 (0 + b2 e z − b3 e y ) = a1b2 − a1b3
r
r
r
r
Analog für (a 2 e y ) × b und (a 3 e z ) × b
Zusammenfassung der Terme ergibt Satz 10 (Bestimmung der Position im Vektor über die
Einheitsvektoren)
Anmerkung:
Formale Darstellung als Determinante
r
r
r
 ex e y ez 
r
r
r
r
r
a × b =  a1 a 2 a 3  = e x ( a 2 b3 − a 3b2 ) − e y ( a1b3 − a 3b1 ) + e z (a1b2 − a 2 b1 )
 b1
b2
b2 
–24–
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r r r
r r r
r r r
[ a b c ] := a ⋅ (b × c )
r r
r
Definition 10: Spatprodukt [ a b c ] der Vektoren a , b und c ∈ V3
Anmerkung:
Auch gemischtes Produkt
r r r
[ a b c ] ist eine Skalar
r r
r
Geometrische Bedeutung: a , b und c spannen ein sogenanntes Parallelepiped (Spat) auf
r r
A = |b ×c |
r
h
cos ϕ = r ⇒ h =| a | * cos ϕ
|a |
⇒ Volumen V = A * h =
r r
r
r r r
| a | * | b × c | * cos ϕ = a ⋅ (b × c )
r r r
ϕ=
(a , b × c )
r r r
r r r
Allgemein auch bei Winkel zwischen 90° und 180° ⇒ Spatvolumen = | [ a b c ] | = | a ⋅ (b × c ) |
 b1 
 c1 
 a1 
r   r  
r  
Satz 11: Für a =  a 2  , b =  b2  und c =  c 2  gilt:
b 
c 
a 
 3
 3
 3
 a1 a 2 a 3 
r r r
[ a b c ] =  b1 b2 b3 
 c1
Beweis:
c3 
c2
 a1
a2
a3 
 b1
b2
b3 = a1b2 c3 − a1b3 c 2 − a 2 b1c 3 + a 2 b3 c1 + a 3 b1c 2 − a 3b2 c1
 c1
c2
c3 
r r r
Andernfalls [ a b c
r
 ex
r r
a × b =  a1
 b1
r r r
] = a ⋅ (b × c )
r
r
e y e z   a 2 b3 − a3b2 


a2
a 3  =  a3b1 − a1b3 
b2
b2 
a b − a b 
2 1
 1 2
= a1b2 c 3 − a1b3 c 2 + a 2 b3 c1 − a 2 b1 c 3 + a 3 b1 c 2 − a 3 b2 c1
r r r r
r r r
r r r
r r r
[ a b c ] = 0 ⇔ a , b , c liegen in einer Ebene, d. h. a , b , c sind komplanar.
Satz 12: Für a , b , c ≠ 0 gilt:
Beweis:
anschaulich über Spatvolumen
r r r
r r r
r r r
Satz 13: (1) [ a b c ] = [ b c a ] = [ c a b ]
Keine Änderung bei zyklischer Vertauschung
r r r
r r r
(2) [ a b c ] = - [ b a c ]
Änderung des Vorzeichens bei nicht zyklischer Vertauschung
Beweis:
Nach Satz A,2 und Satz 11
-- a --
r r r
[ a b c ] = -- b --= -- c --
-- b --
-- a -- =
-- c --
-- b --
r r r
-- c -- = [ b c a ]
-- a --
–25–
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C. Geometrische Anwendung der Vektorrechnung
1. Vektorielle Darstellung einer Geraden
r
r
Gegeben: Punkt P1 (mit Ortsvektor r1 ) und Vektor a
r
Gesucht: Darstellung der Geraden g durch Punkt P1 in Richtung von a
r
r
r
r
r (P) = r1 + P1 P = r1 + λa mit Parameter λ ∈
Punktrichtungsform der Geradengleichung:
r
r
r
r (λ) = r1 + λa , λ ∈
r
r
Gegeben: Zwei Punkte P1 und P2 (Ortsvektoren r1 und r2 )
Gesucht: Gerade durch P1 und P2
Richtungsvektor:
r
r r
r
r
a = P1 P2 = r2 − r1 ⇒ r ( P ) = r1 + λ P1 P2
r
r r
= r1 + λ ( r2 − r1 )
Zweipunkteform der Geradengleichung:
r
r
r r
r (λ) = r1 + λ ( r2 − r1 ) , λ ∈
Satz 1:
r
r
r
r
Ein Punkt Q mit dem Ortsvektor rQ hat von einer Geraden g mit r (λ) = r1 + λ ( a )
r r
r
| a × ( rQ − r1 ) |
Den Abstand d =
r
|a |
Wählen P2 auf g mit | P1 P2 |= 1
A sei Fläche des Parallelogramms aus | P1 P2 | und | P1Q |
A = | P1 P2 | *d = d
r r
r
r
| a × ( rQ − r1 ) |
r
r
a
=d
A = | P1 P2 × P1Q |=| r × ( rQ − r1 ) |=
r
|a |
|a |
Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden
Zwei Geraden g1 und g2 können:
1. zusammenfalle (identisch sein)
2. parallel zueinander sein
3. genau einen Schnittpunkt haben
4. windschief sein (nicht parallel, kein Schnittpunkt)
r
r
r
Gleichung für g1: r (λ1 ) = r1 + λ1a1
r
r
r
g2: r ( λ2 ) = r2 + λ2 a 2
Schnittpunkt:
r
r
r ( λ1 ) = r (λ2 ) gibt 3 Gleichungen für λ1 , λ2. Falls eine Lösung λ1* , λ2* existiert
r r
r
r
r
Mit Schnittpunkt: rs = r1 + λ1a1 = r2 + λ2 a 2
r r
r
r
a ⋅a
Schnittwinkel: Winkel zwischen a1 und a 2 : ϕ = arccos r 1 2r
| a1 | * | a 2 |
–26–
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2. Vektorielle Darstellung einer Ebene
r
r
r
Gegeben: Punkt P1 (mit Ortsvektor r1 ) und zwei Vektoren a und b (nicht kollinear)
r
r
Gesucht: Gleichung der Ebene E durch P1 und parallel zu a und b
r
r
r
r
r
r ( P ) = r1 + P1 P = r1 + λa + µb
Punktrichtungsform der Ebenengleichung:
r
r
r
r
r ( λ , µ ) = r1 + λa + µb
r r r
Anmerkung: Normalenvektor ist ein Vektor senkrecht auf E (sonst beliebig), z.B. n = a × b
Gegeben: Drei verschiedene Punkte P1 , P2 , P2 (nicht auf gemeinsamer Geraden)
r r r
Ortsvektoren r1 , r2 , r3
Gesuncht: Ebene durch P1 , P2 , P2
r
r r
Richtungsvektoren: a = P1 P2 = r2 − r1
r
r r
b = P1 P3 = r3 − r1
Dreipunkteform der Ebenengleichung:
r
r
r
r r
r r
r ( λ , µ ) = r1 + λ P1 P2 + µ P1 P3 = r1 + λ ( r2 − r1 ) + µ ( r3 − r1 )
r
r
Gegeben: Punkt P1 (mit Ortsvektor r1 ) und Vektor n
r
Gesucht: Ebene E durch P1 und so, dass n senkrecht auf E (d.h. Normalenvektor)
P beliebig in E
r r
⇒ P1 P = r − r1 liegt in E
r r r
⇒ n ⊥( r − r1 )
r r r
⇒ n ⋅ ( r − r1 ) = 0
r r r r
⇒ n ⋅ r − n ⋅ r1 = 0
r r r r
⇒ n ⋅ r = n ⋅ r1
r r r r r
Gleichung der Ebene durch P1 und senkrecht zu n : n ⋅ r = n ⋅ r1
r r
r r
n ⋅ r1 ist konstant; setzen n ⋅ r1 = -D
x
 A
r  
r r
r r
r  
mit r =  y  und n =  B  folgt n ⋅ r = Ax + By + Cz = n ⋅ r1 = − D
z 
C 
 
 
Ebenengleichung im kartesischen Koordinatensystem: Ax + By + Cz + D = 0
B
C
A
x + y + z +1 = 0
D
D
D
x
y
z
⇒
+
+
= −1
D D D
A B C
x
y
z
⇒
+
+
=1
−D
−D
−D
= a,
= b,
=c
Für
−D −D −D
A
B
C
A
B
C
x y z
⇒ + + = 1 Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
a b c
a, b, c: Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen
⇒
–27–
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Satz 2:
r
r r r r
Ein Punkt (Q mit dem Ortsvektor rQ ) hat von einer Ebene E mit n ⋅ r = n ⋅ r1
r r
r
| n ⋅ ( rQ − r1 ) |
Den Abstand d =
r
|n |
Beweis:
d = Länge der Projektion von P1Q in
r
Richtung non n
r r
r
r
r
| n ⋅ P1Q | | n ⋅ ( rQ − r1 ) |
1
d =| n ⋅ P1Q * r |=
=
r
r
|n |
|n |
|n |
Durchstoßpunkt einer Geraden g durch eine Ebene E:
r
r
r
(1) g: rG = r1 + λ1a1
r
r
r
r
E: rE = r2 + λ2 a 2 + µb
r
r
Für Durchstoßpunkt rG = rE
r
r
r
r
r
⇒ r1 + λ1a1 = r2 + λ2 a 2 + µb drei Gleichungen für λ1, λ2, µ
⇒ λ1 berechnet in die Gleichung g eingesetzt ⇒ Lösung
Probe: λ2, µ in Gleichung für E
r
r
r
(2) g: rG = r1 + λa
r r r r
E: n ⋅ r = n ⋅ r1
r
r
Für Durchstoßpunkt rG = rE . Bei einem Durchstoßpunkt widerspruchsfreie Lösung.
λ in g eingesetzt ⇒ Ortvektor des Durchstoßpunktes
Ausblick:
- Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene: 90° - Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor
- Schnittwinkel zweier Ebenen: Winkel zwischen den Normalenvektoren
- Schnittgerade zweier Ebenen: Zwei Punkte auf dr Schnittgeraden bestimmen
r
r
durch rE1 = rE2
r r
ein Punkt auf der Geraden und Richtungsvektor durch n1 × n 2
- Abstand zweier windschiefer Geraden:
r
r
r
r
r
r
g1: rG1 = r1 + λ1a1 , g2: rG2 = r2 + λ2 a 2
r
r
r
r
r
⇒ E: rE = r1 + λ1a1 + λ2 a 2 , P1: r2
Abstand zwischen E und P1 berechnen
D Matrizen
1. Grundlagen
Definition 1: Ein System von Zahlen aik (Elemente), die rechteckig in m Zeilen und n Spalten
angeordnet sind, heißt (m , n) Matrix (oder ( m × n ) Matrix)
 a11 a12 a13 K a1n 


a 22 a 23 K a 2 n 
a
A = (aik) =  21
M
M
M
M 


a

 m1 a m 2 a m 3 K a mn 
Anmerkung:
(1) i-ter Zeilenvektor : (ai1 , ai2 , ai3 , ... , ain)
 a1k 


 a 21k 
k-ter Spaltenvektor: 

M


a 
 mk 
–28–
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(2) Nullmatrix: Alle Elemente aik gleich Null
(3) Im Gegensatz zu Determinanten kann m ≠ n sein
Quadratische Matrix: Falls m = n a11 a12 ...
a21 a22 ...
....
am1 am2 ...
a1n
a2n
amn
Hauptdiagonale
In einer quadratischen Matrix kann Determinante gebildet werden.
Schreibweise: det A
Definition 2: Die Transponierte AT der Matrix A entsteht durch Vertauschung der Zeilen und Spalten von A.
Anmerkung:
(AT)T = A
Definition 3: Sei A = (aik) eine quadratische Matrix. A heißt
(1) Symmetrie, wenn AT = A gilt, d. h. aik = aki ∀ i, k
 a11 0 K 0 


 0 a 22 K 0 
(2) Diagonalmatrix, wenn aik = 0 für i ≠ k A = 
M
M
M 


 0
0 K a nm 

(3) Einheitsmatrix, falls aik = 0 für für i ≠ k und aii = 1 ∀ i
(4) Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente oberhalb oder
unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind
0 K 0 
 a11


 a 21 a 22 K 0 
unter Dreiecksmatrix 
, obere Dreiecksmatrix
M
M
M 


a

 n1 a n 2 K a nn 
1

0
E= 
M

0

 a11

 0
 M

 0

0 K 0

1 K 0
M
M

0 K 1 
a12
a 22
M
0
K a1n 

K a 2n 
M 

K a nn 
Satz 1: Sei A = (aik) Dreiecksmatrix. Gilt: det A = a11* a22* a33*…* ann
Beweis:
a11
a12
a13 K a1n
0
a 22
a 23 K a 2 n
0
0
M
M
M
0
0
0
a 33 K a 3n = a11 *
M
K a nn
a 22
a 23 K a 2 n
0
a 33 K a 3n
M
M
0
0
M
= a11 * a 22 * K = a11 * a 22 * a 33 * ... * a nn
K a nn
2. Rechenregeln
Definition 4: Die Matrix A = (aik) und B = (bik) seien vom gleichen Typ (m , n)
(1) Gleichheit: A = B, wenn aik = bik ∀ i, k
(2) Addition: A + B = C = (cik), wobei cik = aik + bik (I = 1, …, m; k = 1, …, n)
(3) Multiplikation mit einer Zahl:
λ * A = λ*(aik) = (λ*aik) ∀ i, k
d. h. jedes Element von A wird mit der Zahl λ ∈
Anmerkung:
Subtraktion analog zur Addition
–29–
multipliziert
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Definition 5: Sei A = (aik) ein (m, n)-Matrix und B = (bik) eine (n, p)-Matrix
Die Multiplikation A*B = C = (cik) wird definiert durch
 b1k 



b 
 nk 
n
cik =
∑a
ij
* b jk = a i1 * b1k + a i 2 * b2 k + ... + a in * bnk
j =1
(i = 1, ..., m ; k = 1, ..., p)
Die Matrix C ist dann vom Typ (m, p)
Anmerkung:
(a i1 * ... * a in )*  ...
n Spalten
(1) Multiplikation A*B ist nur möglich, wenn (Spaltenzahl von A) = (Zeilenzahl von B)
(2) cik ist Skalarprodukt aus i-tem Zeilenvektor von Aund k-tem Spaltenvektor von B
(3) Im Allgemeinen A*B ≠ B*A . Aber für Einheitsmatrix E*A = A*E = A
Stichwortartig: - Spalten von B auf Zeilen von A legen
- Komponentenweise multiplizieren
- Produkte addieren
- Ergebnis steht am „Kreuzungspunkt“ der betreffenden Spalte und Zeile
Falk-Schema:
B
A
k–te Spalte
A*B
i–te Zeile
cik
Neutrale Matrix:
Multiplikation einer Matrix A
mit der Einheitsmatrix
Verändert A nicht: A*E = A und E*A = A
Rechenregeln für Matrizenprodukte
(1) A * (B * C) = (A * B) * C
(2) A * (B + C) = A * B + A * C ; (A + B) * C = A * C + B * C
(3) (A * B)T = BT * AT
Reihenfolge beachten
3. Weiter Begriffe für quadratische Matrizen
Definition 6: Sei A quadratische Matrix
Existiert eine Matrix X mit A * X = E = X * A , so heißt X die A inverse Matrix
Schreibweise: A-1
Anmerkung:
 a b   x11
 * 
A * A −1 = 
 c d   x 21
-1
Existiert A , so heißt A invertierbar;
Es existiert dann genau eine Inverse.
x12   1 0 
=

x 22   0 1 
Definition 7: Sei A quadratische Matrix
A heißt regulär, falls det A ≠ 0
A heißt singulär, falls det A = 0
Satz 2: Sei A quadratische Matrix, A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist.
(Zu A existiert A-1 ⇔ det A ≠ 0)
–30–
n Zeilen
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4. Anwendung
Drehung eines Punktes
Punkt P = (x1 , y1) gedreht um den Ursprung
um den Winkel ϕ gibt Q = (x2 , y2)
Gegeben: x1 , y1 , ϕ
Gesucht: x2 , y2
r
r
r
r
r
r
Bezeichnungen: rP = OP, rQ = OQ , rH = OH ; | rP |=| rQ |=| rH |= r
r
r
|a |
⇒| a |= r * cos ϕ
cos ϕ =
r
r
r
|b |
sin ϕ =
⇒| b |= r * sin ϕ
r
r
r
 x1 
r r
r
r
r
⇒ a =| a | * rP = r * cos ϕ * rP = cos ϕ * rP = cos ϕ *  
| rP |
| rP |
 y1 
r
r
r r
− y 
r
r
r
⇒ b =| b | * rH = r * sin ϕ * rH = sin ϕ * rH = sin ϕ *  1 
| rH |
| rH |
 x1 
 x * cos ϕ   − y1 * sin ϕ   x1 * cos ϕ − y1 * sin ϕ 
r

 + 
 = 
⇒ rQ =  1
 y1 * cos ϕ   x1 * sin ϕ   x1 * sin ϕ + y1 * cos ϕ 
Koordinaten von Q:
x2 = x1 cosϕ - y1 sinϕ
x2 = x1 sinϕ + y1 cosϕ
Dastellung der Drehung mit Drehmatrix:
 x 2   cos ϕ
  = 
 y 2   sin ϕ
− sin ϕ   x1 
* 
cos ϕ   y1 
Drehung zurück, d.h. um Winkel -ϕ führt zu inversen Matrix:
 cos( −ϕ ) − sin( −ϕ )   cos(ϕ ) sin(ϕ ) 

 = 

 sin( −ϕ ) cos( −ϕ )   − sin(ϕ ) cos(ϕ ) 
Translation (Verschiebung) und Rotation
 x 2   cos ϕ
  
 y 2  =  sin ϕ
1   0
  
− sin ϕ
cos ϕ
0
cosϕ – sinϕ
cosϕ sinϕ
sinϕ
1
cosϕ
0
–sinϕ cosϕ
0
1
v x   x1 
  
v y  *  y1 
1  1 
vx 
Translationsvektor:  
v y 
–31–
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E Lineare Gleichungssysteme
1. Grundlagen
Definition 1: Das System
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
usw.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
mit m linearen Gleichungen und n Unbekannten x1 , x2 , ... , xn
heißt lineares Gleichungssystem (LGS)
n
∑a
Kurz:
ij x j
= bi (für i = 1, ... , m ; aij , bi ∈ )
j =1
Bezeichnungen:
Das LGS heißt homogen, falls b1 , b2 , ... , bn = 0, sonst inhomogen
aij:
Koeffizienten des LGS
bi:
Absolutglieder oder Störglieder
r
Lösung des LGS:
Vektor x = (x1 , x2 , ... , xn) der System erfüllt
Allgemeine Lösung:
r
L = { x = (x1 , x2 , ... , xn)|
n
∑a
ij x j
= bi für i = 1, ... , m }
j =1
Anmerkung:
(1) Linearität: x1 nur in 1. Potenz
r r
(2) Matrizenschreibweise: A x = b mit
 x1 
 b1 
 a11 a12 K a1n 
 
 


r
a 22 K a 2 n  r  x 2 
 b2 
a
=
=
,
,
x
b
A =  21
M 
M 
M
M
M 
 
 


a

x 
b 
 m1 a m 2 K a mn 
 n
 m
A heißt Koeffizientenmatrix
r
(3) Homogenes LGS besitzt immer dir triviale Lösung 0
d.h. x1 = x2 = ... = xn = 0
Umformungsregeln für LGS
Lösungsmenge L bleibt unverändert bei „elementarer Umformung“:
1. Vertauschung von Zeilen (Gleichungen)
2. Multiplikation einer Gleichung mit Faktor ≠ 0
3. Addition einer Gleichung zu einer anderen
4. Vertauschen von Spalten (mit entsprechenden Vertauschungen / Umbenennen der Variablen)
2. Lösungsschema
Kurzschreibweise für LGS: (nur Koeffizienten)
a11
a12
K a1n b1
a 21
a 22
K a 2 n b2
M
M
a m1
M
M
a m 2 K a mn bm
–32–
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Mit elementaren Umformungen lässt sich jedes LGS auf folgendes Lösungs- oder Endschema transformieren:
1
1
k
1 0 0 K 0
0 1 0 K 0
k +1
n
α 1,k +1 K α 1,n
α 2,k +1 K α 2,n
β1
β2
0 0 1 K 0
M
M
M
M
M
M
M
k
0 0 0 K 1
α k ,k +1 K α k ,n
βk
k +1
0
0
m
0
β k +1
M
βm
K
0
M
M
K
0
0
M
K
0
K
0
M
Definition 2: Die Zahl k heißt Rang des LGS: k = rg (LGS)
Anmerkung:
k ist unabhängig von Art und Reihenfolge der elementaren Umformungen (ohne Beweis)
Diskussion des Endschemas
(1) LGS lösbar ⇔ βk+1 = ... = βm = 0
Für lösbare LGS gilt:
(2) LGS eindeutig lösbar ⇔ k = n (Rang maximal)
r
Lösung: x = (β1 , β2 , ... , βk)
(3) LGS hat unendlich viele Lösungen ⇔ k < n
Dann können die unbekannten xk+1 , xk+2 , ... , xn krei gewählt werden.
(n - k) freie Parameter λ1 = xk+1 , λ2 = xk+2 , ... , λn-k = xn
Lösungen: xi = β1 - λ1 * αi,k+1 - λ2 * αi,k+2 - ... - λn-k * αi,n
Definition 3: n - k heißt Dimensionder Lösungsmenge: dim L = n - k
Satz 1: rg (LGS) + dim L = n
3. Gauß-Algorithmus
Beispiel: n = 5 , m = 5
Pivot-Element
1 2 −1 1
2
1
1
4 − 3 −1 −1
0
2
6 −4
1
1
1
0
−1 4
Lösungschema:
1 0 0
1
0 1 0
1 32
12
2 3
0 0
1
0
0 0
0
1
3
5
2
0 0 1
0 0 0
−1
1
1
0
0 0 0
0
⇒ x4 = λ , x5 = µ
⇒Rang = 3 ; dim L = 2
1 
−1 
− 2
 
 

1 2 
−1 
− 3
r  


⇒ Lösung: x = 1 + λ − 2 + µ  − 3
 
 

0 
1 
0
0 
0 
1
 
 



2





–33–
2
1
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4 Allgemeine Sätze
Satz 2:
r r
Ein inhomogenes LGS A x = b hat entweder genau eine oder unendlich viele oder keine Lösung.
Satz 3:
r r
r r
Ein homogenes LGS A x = 0 mit hat entweder die eine Lösung x = 0 oder unendlich viele Lösungen
r
r
(darunter x = 0 )
Frage:
r r
Wann hat A x = b genau eine Lösung?
Falls m = n (Anzahl Gleichungen = Anzahl Unbekannte), d.h. quadratisches LGS.
Satz 4:
r r
r r
Zu A x = b oder A x = 0 mit A quadratisch existiert eine eindeutige Lösung,
wenn A regulär ist, d.h. det A ≠ 0
r r
 bei A x = b entweder unendlich viele oder keine Lösung
r r

 Bei A x = 0 unendlich viele Lösungen
Anmerkung: det A = 0 ⇒
Zum Beweis:
A regulär heißt det A ≠ 0 ⇒ ∃ A-1
r
r
r
r
r
r
⇒ A-1A x = A-1 b ⇒ E x = A-1 b ⇒ x = A-1 b
r r
Für A x = b mit det A ≠ 0 direkte formelmäßige Berechnung der Lösung
bzw. einzelne Teile x1 , x2 , ... , xn möglich.
 x1 
 
r  x2 
x= 
M
 
x 
 n
Satz 5: Carmersche Regel
r r
Ein quadratisches LGS A x = b mit regulärer Koeffizientenmatrix A besitzt die eindeutige Lösung:
Di
(i = 1, 2, ..., n)
xi =
det A
r
Di : Hilfsdeterminante : i-ter Spaltenvektor von det A wird durch b ersetzt.
Anmerkung: Di =
a11
a12
K b1
K a1n
a 21
a 22
K b2
K a 2n
M
M
Beweis:
M
a n 2 K bn
a n1
M
K a nn
Für n = 2 (siehe Beginn des Abschnittes II A. Determinanten)
5. Matrixinversion mit dem Gauß-Verfahren
Zur Matrix A ist inverse Matrix A-1 gesucht. Falls det A ≠ 0 existiert A-1 eindeutig.
Zur Berechnung von A-1 Ausgangsschema
a11 a12 K a1n 1 0 K 0
a 21 a 22 K a 2 n 0 1 K 0
M
M
M
M
M
r
r r
(Analog zu A x = b , statt b jetzt E)
M
a n1 a n 2 K a 22 0 0 K 1
Elemente von A
Einheitsmatrix
Mit elementaren Umformungen (wie bei LGS) Transformation auf Endschema:
1 0 K 0 α 11 α 12 K α1n
α 21 α 22 K α 2 n
M M
M
M
M
M
0 0 K 1 α n1 α n 2 K α nn
Einheitsmatrix
A-1
0 1 K 0
–34–
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III Funktionen (Analysis)
A. Der Funktionsbegriff:
Definition 1: Es seien A und B zwei beliebige Mengen. Eine Funktion (oder Abbildung) von A und B,
f: A → B ist eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ A genau ein Element y ∈ B zugordnet.
Schreibweise: y = f(x)
A heißt Definitionsbereich von f: Bezeichnung: D(f)
Die Menge aller y ∈ B, die Funktionswerte von f sind, heißt der Wertebereich von f: Bezeichnung: W(f)
Man nennt x die unabhängige und y die abhängige Variable
Darstellung einer Funktion:
1. analytisch:
y = f(x)
explizit
F(x,y) = 0
implizit
Parameterdarstellung: x = x(t) , y = y (t), t1 ≤ t ≤ t2
2. graphisch (Funktionskurve)
3. Wertetabelle
Betrachen f:
→
Definition 2: Eine Funktion heißt
gerade
ungerade
monoton wachsend
streng monoton wachsend
monoton fallend
streng monoton fallend
(streng) monoton
periodisch
beschränkt
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
f(-x) = f(x) Spiegelsymmetrie zur y-Achse
f(-x) = -f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung
f(x2) ≥ f(x1) für x2 > x1
f(x2) > f(x1) für x2 > x1
f(x2) ≤ f(x1) für x2 > x1
f(x2) < f(x1) für x2 > x1
f (streng) monoton wachsend oder fallend
existiert p > 0 mit f(x + p) = f(x)
existiert M > 0 ist | f(x) | ≤ M
Stauchung, Streckung und Verschiebung von Funktionen
Verschiebung in y-Richtung

f(x) + a 

a > 0 : Verschiebung um a nach oben
a < 0 : Verschiebung um a nach unten
–35–
∀ x ∈ D(f)
∀ x ∈ D(f)
∀ x2 , x1 ∈ D(f)
∀ x2 , x1 ∈ D(f)
∀ x2 , x1 ∈ D(f)
∀ x2 , x1 ∈ D(f)
∀ x ∈ D(f)
∀ x ∈ D(f)
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Verschiebung in x-Richtung
 b > 0 : Verschiebung um b nach links
f (x + b) 
 b < 0 : Verschiebung um b nach rechts



c * f (x) 


c>1:
0 < c <1 :
-1 < c < 0 :
c < -1 :
Streckung (senkrecht in y-Richtung)
Stauchung (senkrecht in y-Richtung)
Stauchung (senkrecht in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse)
Streckung (senkrecht in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse)



f (d * x) 


d>1:
0 < d <1 :
-1 < d < 0 :
d < -1 :
Stauchung (waagrecht in x-Richtung)
Streckung (waagrecht in x-Richtung)
Streckung (waagrecht in x-Richtung und Spiegelung an der y-Achse)
Stauchung (waagrecht in x-Richtung und Spiegelung an der y-Achse)
Definition 3: Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn aus x1 , x2 ∈ D(f) mit x1 ≠ x2 stets folgt f(x1) ≠ f(x2)
f(x) umkehrbar → jedem y ∈ W(f) kann genau ein x ∈ D(f) zugeordnet werden,
das x mit f(x) =y
Schreibweise: x = f-1(y)
Vertauschung von x und y gibt: y = f-1(x), Umkehrfunktion von y = f(x)
Herleitung von f-1:
(1) y = f(x) nach x auflösen: x = x = f-1(y)
(2) x und y vertauschen: y = f-1(x)
(Nicht immer möglich: y = x + ex)
Spiegelung von f(x) mit y = x (Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten) gibt:
y = f-1(x) D(f-1) = W(f) W(f-1) = D(f)
Satz 1:
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar
B. Folgen und Reihen
Definition 1: Wird jedem n ∈
eine reelle Zahl an zugeordnet, so entsteht eine
unendliche Zahlenfolge a1 , a2 , a3, ...
Schreibweise:
(a n )∞n =1
kurz (an)
Die Zahlen an heißen Glieder der Folge
Anmerkung:
(1) Für ersten Index statt 1 auch andere ganze Zahlen erlaubt
(2) Folge aufgefasst als Funktion f: f : → , f(n) = an
(3) Vorschrift an = f(n) heißt Bildungsgesetz der Folge
(4) Endliche Folge entsprechend: (a n )m
n =1 = a1 , a 2 ,..., a m
(5) arithmetische Folge : Folge mit konstantem Zuwachs
(6) geometrische Folge: Folge mit gleichem prozentualem Zuwachs
Allgemein:
Zahlenfolge (an) konvergiert gegen Grenzwert g, wenn sich an für
Wachsendes n „immer dichter an g annähert“.
lim a n = g oder a n → g (n → ∞ )
n →∞
–36–
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∞
1
1


Beispiel: (1) 1 −  konvergente Folge mit Grenzwert 1, lim  q −  = 1
→
∞
n
n
n

 n =1

∞
1
1
konvergent zum Grenzwert 0, lim   = 0 (Nullfolge)
(2)  
→
∞
n
n
n
  n =1
∞
n

1 
(3)  1 +   Man kann beweisen: Die Folge konvergiert

n 

 n =1
Bezeichnung für Grenzwert: Eulersche Zahl (Euler: 1707 - 1783)
n
1

e = lim 1 +  = 2,71828182...
n →∞
n
Geht eine Folge nicht gegen einen endlichen Wert: Folge ist divergent
Werte werden immer größer: Folge ist bestimmt divergent
Unendliche Grenzwert ist ∞
Definition 2: Ist (a n )∞n =1 eine Folge, so heißt der Ausdruck
∞
∑a
= a1 + a 2 + a 3 + ... eine Reihe
n
n =1
Die an heißen Glieder der Reihe
Reihen: Endliche Reihe: kurz Summe
Unendliche Reihe: kurz Reihe
Anmerkung:
Ausführung unendlich vieler Additionen ist unmöglich.
Betrachten deshalb Folge (sm) der endlichen Partialsumme
m
∑a
s m :=
n
n =1
∞
∑a
Definition 3: Die Reihe
n =1
n
= s heißt konvergent zur Summe s, wenn die Folge (s m )∞m =1 der
m
Partialsumme s m :=
∑a
n
gegen s konvergiert, d.h. wenn Grenzwert lim sm existiert.
n →∞
n =1
∞
Schreibweise:
∑a
n
=s
n =1
Die Reihe heißt divergent, wenn die Folge (sm) keinen endlichen Grenzwert besitzt
Satz 2:
∞
Die geometrische Reihe
∑q
n
ist für | q | < 1 konvergent und für | q | ≥ 1 divergent
n =0
∞
Es gilt:
∑q
n
=
n =0
1
für | q | < 1
1− q
m
Beweis:
Sei s m =
∑q
n =1
n
sm
= 1 + q + q2 + q3 + ... + qm
q * sm =
q + q2 + q3 + ... + qm + qm+1
- ________________________________
sm - q*sm = 1 - qm+1
sm (1 - q) = 1 - qm+1 ⇒
sm =
1 − q m +1
1
→
( m → ∞ ), da q m +1 → 0(m → ∞ ) für | q | < 1
1− q
1− q
–37–
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Konvergente nicht geometrische Reihen (ohne Herleitung):
π
1 1 1 1
+ − + − +... =
3 5 7 9
4
1 1 1
1 + + + + ... = e
2! 3! 4!
1 1 1
1
π2
1+ + +
+
+ ... =
4 9 16 25
6
1 1 1 1
1 − + − + − +... = ln 2
2 3 4 5
1−
Divergente Reihe
1
1
1
1
1
1
1
∑ Pr imzahl = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 ...
C. Grenzwert von Funktionen
Beispiel:
sin x
D(f) = \{0}
x
Was geschieht bei Annäherung an x = 0?
„Testen“ mit kleinen Zahlen: Annäherung an 1
f ( x) =
Man kann beweisen: Für jede Folge (xn) mit xn → 0 ( n → ∞ ) gilt
Bezeichnen 1 als Grenzwert von f ( x ) =
sin x n
→ 1(n → ∞ )
xn
sin x
im Punkt x = 0.
x
Definition 1: Die Funktion f hat in x = a den Grenzwert g, wenn lim f ( x n ) = g für alle
n→∞
Folgen (xn) mit xn → a ( n → ∞ ) und xn ≠ a
Schreibweise: lim f ( x ) = g
x→0
Definition2: Die Funktion f hat in x = a den rechtsseitigen Grenzwert g, wenn lim f ( x n ) = g für alle
n→∞
Folgen (xn) mit xn → a ( n → ∞ ) und xn > a
Schreibweise: lim f ( x ) = g oder
x ↓a
Anmerkung:
lim f ( x ) = g
x→a + 0
(1) Analog linksseitigen Grenzwert mit lim f ( x ) = g oder
x ↑a
lim f ( x ) = g
x→a −0
(2) Falls lim f ( x ) = g = lim f ( x ) , dann lim f ( x ) = g
x→a + 0
x→a
x →a −0
Uneigentliche Grenzwerte:
lim f ( x ) = ∞
lim f ( x ) = ∞
x ↓0
x→a
lim f ( x ) = −∞
x ↑0
lim f ( x ) = −∞
Beispiel:
x→a
–38–
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a1 ∉ D(f)
rechtsseitiger
Grenzwert
existiert
a2 ∈ D(f)
Grenzwert
existiert
a3
Grenzwert
existiert = f(a3)
a4
Grenzwert
existiert ≠ f(a4)
a5
Grenzwert
existiert nicht;
links- und
rechtsseitiger
G. existiert;
rechtsseitiger
G. = f(a5) ≠
linksseitiger G.
D. Stetigkeit von Funktionen
Definition 1: Funktion f heißt stetig im Punkt a ∈ D(f), wenn lim f ( x ) = f ( a )
x→a
f heißt stetig , wenn f in jedem Punkt von D(f) stetig ist.
Anmerkung:
Stetigkeit in a, wenn
(1) Grenzwert existiert
(2) Grenzwert = Funktionswert
f in a1 , a2 , a3 unstetig
f in a4 stetig
Beispiel:
sin x
stetig auf \{0}
x
Definieren Funktion g:
 sin x

für x ≠ 0
g ( x) =  x
 1
für x = 0
f ( x) =
Wegen lim g ( x ) = lim
x →0
Anschaulich:
x →0
sin x
= 1 = g (0) gilt: g ist stetig auf R
x
Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph „in einem Zug“
(ohne absetzen) gezeichnet werden kann.
–39–
a6
linkss. G.
existiert =
f(a6)
a7
Grenzwert
nicht
definiert
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IV Differentialgleichung
A. Die Ableitung:
Gesucht: Steigung der Tangente mt in P
∆y
∆x
ms als Näherung für die Tangentensteigung mt um so besser, je dichter Q an P liegt, d.h. je kleiner ∆x ist.
∆y
Grenzübergang: ms → mt (∆x → 0) Also: mt = lim
∆ x → 0 ∆x
Bezeichnung: Ableitung der Funktion f im Punkt P
Sekantensteigung: m s =
Definition 1: Die Funktion f sei stetig auf dem Intervall I und es sei x0 ∈ I.
f ( x0 + h) − f ( x 0 )
x0 + h ∈ I und h ≠ 0
h
Differenzenquotient von f im Punkt P.
Dann heißt: D( h ) = lim
h →0
f ( x0 + h) − f ( x 0 )
, so heißt f im Punkt x0 differenzierbar;
h →0
h →0
h
den Grenzwert nennt man Ableitung oder Differenzialquotient von f im Punkt x0
Existiert lim D (h ) = lim
Bezeichnung:
Anmerkung:
f ' ( x) ;
df
dx
;
x = x0
d
f ( x)
dx
x = x0
Bei Abhängigkeit t (Zeit), d.h. y = y(t) statt y’ Schreibweise: y&
Beispiel: f(x) = x2. Sei x0 beliebig: f ' ( x ) = lim
h →0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
( x + h) 2 − x0 2
= lim 0
h →0
h
x0 2 + 2 x 0 h + h 2 − x 0 2
h →0
h
= lim ( 2 x 0 + h ) = 2 x 0
= lim
h →0
Speziell: x0 = ½ : f’(½) = 1
Definition 2: f heißt auf dem Intervall I differenzierbar, wenn f in jedem Punkt von I differenzierbar ist.
Die Funktion f’(x), x∈ I heißt Ableitung von f auf I.
Beispiel: (1) f(x) = C mit C konstant
f ( x + h) − f ( x)
C −C
= lim
= lim 0 = 0
f ' ( x ) = lim
→
0
h →0
h
h →0
h
h
d
⇒
C =0
dx
(2) f(x) = x
f ' ( x ) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x)
x+h−x
d
= lim
=1⇒
x =1
→
0
h
h
h
dx
–40–
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(3) f(x) = xn (n ∈ )
f ( x + h) − f ( x)
( x + h) n + x n
= lim
h →0
h →0
h
h

n
1
= lim  x n + nx n −1h +   x n −2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n − x n 
h →0 h
2
 


f ' ( x ) = lim


n
= lim  nx n −1 +   x n − 2 h + ... + h n −1  = n * x n −1
h →0
2


d n
n −1
x = nx
⇒
(n ∈ )
dx
(4)
f ( x) =
x (x > 0)
f ( x + h) − f ( x)
x+h − x
( x + h − x )( x + h + x )
= lim
= lim
h →0
h →0
h
h
h*( x + h + x)
x+h−x
1
1
= lim
=
= lim
h →0 h * ( x + h + x )
h →0 x + h + x
2 x
d
1
⇒
x=
dx
2 x
f ' ( x ) = lim
h →0
(5) f(x) = sin x
siehe Additionstheoreme
f ( x + h) − f ( x)
h h
h h 
sin( x + h ) − sin( x )
1 

= lim
= lim sin x + +  − sin x + − 
f ' ( x ) = lim
→
0
→
0
h →0
h
h
h
h
h 
2 2
2 2 

= lim
h →0
1 
h h
h h
h h
h   h 



sin x +  cos  + cos x +  sin  − sin x +  cos  + cos x +  sin 

h 
2 2
2 2
2 2
2   2 




 h 
sin  

1
h
h
h
2



  
= lim 2 * cos x +  sin  = lim cos x +    
h →0 h
2   2  h →0  
2 h 


2 

h
sin 
h
2

= lim cos x +  * lim   = cos x * 1 = cos x
h
→
0
h →0
h
2

2
d
⇒
sin x = cos x
dx
(6) f(x) = cos x
Mit analoger Herleitung:
d
cos x = − sin x
dx
(7) f(x) = ln x (x > 0)
1
f ( x + h) − f ( x)
ln( x + h ) − ln x
 x + h 
= lim
= lim  * ln
f ' ( x ) = lim
 
h →0
h →0
h →0  h
h
h
 x 






 x
h 
x
1
1

= lim  * ln1 +   = lim  * * ln1 +  
x 
h →0 xh
x   h→0 x h





h 


x 



h 

1
1  1
1
= lim  * ln1 +   = ln e =
x  x
h →0 x
x




h  



⇒
–41–
d
1
ln x =
dx
x
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Definition 3: Die zweite Ableitung einer Funktion f erhält man durch Differenzieren
der ersten Ableitung, d. h f’’ = (f’)’
Schreibweise:
f '' ;
d2 f
dx
2
;
d2
dx
2
d  df 
 
dx  dx 
f ( x) ;
Die n-te Ableitung entsteht durch n-maliges Differenzieren:
f
(n)
( x) ;
dn f
dx n
B. Ableitungsregeln
Die im folgenden betrachteten Funktionen seien differenzierbar
Satz 1:
Die C ∈ konstant. Für y = C * f(x) gilt:
d
y' =
C * f ( x) = c * f ' ( x)
dx
Beweis:
y ' = lim
Satz 2:
Summenregel
Für die Funktion f und g gilt: (f + g)’ = f’ + g’
Beweis:
y = f(x) + g(x)
y( x + h) − f ( x)
f ( x + h) + g ( x + h) − f ( x) − g ( x)
= lim
y ' = lim
→
0
h →0
h
h
h
f ( x + h) − f ( x)
g ( x + h) − g ( x)
= lim
+ lim
= f ' ( x) + g ' ( x)
h →0
h→0
h
h
Satz 3:
Produktregel
Für f(x) und g(x) gilt:
(f * g)’ = f’ * g + f * g’
Beweis:
Sei y(x) = f(x) * g(x)
y( x + h) − f ( x)
f ( x + h) * g ( x + h) − f ( x) * g ( x)
y ' = lim
= lim
h →0
h →0
h
h
f ( x + h) * g ( x + h) − f ( x) * g ( x + h) + f ( x) * g ( x + h) − f ( x) * g ( x)
= lim
h →0
h
f ( x + h) − f ( x)
g ( x + h) − g ( x)
= lim
* g ( x + h ) + lim
* f ( x)
h →0
h →0
h
h
= f ' ( x) * g ( x ) + g ' ( x ) * f ( x )
Satz 4:
Quotientenregel
h →0
Für
g ( x + h) − g ( x)
Cf ( x + h ) − Cf ( x )
f ( x + h) − f ( x)
= lim
= C * lim
= C * f ' ( x)
h→0
h →0
h
h
h
f ( x)
mit g(x ≠ 0) gilt:
g ( x)
'
f 
f ' g − fg '
  =
g
g2
 
f
⇒ y*g = f
g
⇒ ( y * g )' = f ' ⇒ y '* g + y * g ' = f ' ⇒ y '* g ? f '− y * g '
y=
Beweis:
⇒ y' =
f '− yg '
=
g
f
g'
f ' g − fg '
g
=
g
g2
f '−
–42–
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sin x
d
1
tan x =
⇒
cos x
dx
cos 2 x
1
d
1
(2) cot x =
cot x = − 2
⇒
tan x
dx
sin x
1
(3) y = n = x −n ⇒ y ' = −n * x −n −1
x
Beispiel: (1) tan x =
⇒
d a
x = ax a −1 (a ∈ )
dx
Problem: Ableitung einer zusammengesetzten Funktion g(f(x)).
Hierbei sin f(x) und g(x) „ineinander geschachtelt“.
g: äußere Funktion
f: innere Funktion
Satz 5:
Kettenregel
Für g(f(x)) gilt:
Anmerkung:
d
g ( f ( x ) ) = g ' ( f ( x ) )* f ' ( x )
dx
(1) g’: äußere Ableitung
f’: innere Ableitung
(2) Andere Schreibweise mit f(x) = z:
d
d
d
g ( f ( x)) =
g ( z ) z= f ( x ) *
f ( x)
dx
dz
dx
(3) Mit y = g ( f ( x ) ) symbolische Regel:
dy dy dz
=
*
dx dz dy
(4) Bei mehr als zwei geschachteltem Funktionen: Kettenregel entsprechend oft verwenden
Satz 6:
Beweis:
Zur Funktion f sei g die Umkehrfunktion.
1
Dann gilt f ' ( x ) =
mit g ( f ( x ) ) ≠ 0
g ' ( f ( x))
g Umkehrfunktion zu f heißt: x = g ( f (x ) )
d
d
⇒
g ( f ( x ) ) ⇒ 1 = g ' ( f ( x ) )* f ( x )
x=
dx
dx
1
⇒ f ' ( x) =
g ' ( f ( x))
Beispiel: (1) x = ln(ex) x ∈
d
d
1 d
d x
⇒
x=
ln( e x ) ⇒ 1 = x * e x ⇒
e = ex
dx
dx
dx
dx
e
1
d
(2)
arcsin =
dx
1− x2
1
d
arccos = −
dx
1− x2
1
d
arctan =
(4)
dx
1+ x2
d
1
arc cot = −
(5)
dx
1+ x2
d kx
e = k * e kx
(6)
dx
(3)
–43–
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Mit Ableitung der e-Funktion weitere Herleitung:
Allgemeine Potenzfunktion: f(x) = xa , a ∈
,x>0
a
f ( x ) = x a = e ln x = e a ln x
⇒ f ' ( x) =
d z
e
dz
z = a ln x
*
d
1
1
a ln x = e a ln x * a = x a * a = a * x a −1
dx
x
x
d a
x = ax a −1 (a ∈ )
dx
Allgemeine Exponentialfunktion: f(x) = ax , x ∈
,a>0,a≠1
x
f ( x ) = a x = e ln a = e x ln a
⇒ f ' ( x ) = e x ln a * ln a = a x * ln a
d x
a = a x = a x * ln a
dx
Logarithmus zur Basis a: f(x) = loga x
Umkehrfunktion zu loga x ist ax. Damit
d
d log a x d
d
=
x =1=
a
z
* a log a x
x = a log a x ⇒
dx
dz z =log a x dx
dx
d
d
= a z * ln a z =log x * a log a x = x * ln a * a log a x
a
dx
dx
d log a x
1
⇒
=
a
dx
x ln a
Hyperbelfunktionen
y = sinh x =
(
)
(
) (
)
1 x
1
1
e − e − x ⇒ y ' = e x − ( −e − x ) = e x + e − x = cosh x
2
2
2
d
sinh x = cosh x
dx
1
1
1
y = cosh x = e x + e − x ⇒ y ' = e x + ( − e − x ) = e x − e − x = sinh x
2
2
2
d
cosh x = sinh x
dx
(
)
(
) (
C. Das Newton-Verfahren
Gesucht: Lösung einer Gleichung f(x) = g(x)
oder Nullstelle einer Funktion h(x) = 0
(Gleichwertige Problemstellung wegen
f(x) = g (x) ⇔ f(x) - g(x) = 0)
Beispiel: Für welche x ∈ , gilt x + 2 - ex = 0
x + 2 - ex ⇔ x + 2 = ex
Problem: Explizite Lösung f(x) = g(x) bzw. f(x) - g(x) = 0
oft nicht möglich oder zu aufwendig
Gesucht: Näherungslösung durch numerisches Verfahren
–44–
)
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Idee des Newton-Verfahrens:
Zur Funktion f(x) ist Nullstelle x näherungsweise gesucht
Wählen Startwert x0
Ersetzen Funktion f durch Gerade und zwar Tngente in x0
Schnittpunkt mit x-Achse gibt verbesserte Näherung x1
usw.
f ' ( x0 ) =
f ( x0 )
f ( x0 )
⇒ ( x 0 − x1 ) * f ' ( x 0 ) = f ( x 0 ) ⇒ x 0 − x1 =
x 0 − x1
f ' ( x0 )
⇒ x1 = x 0 −
Analog:
f ( x0 )
f ' ( x0 )
f ' ( x1 ) =
(erste Verbesseru ng der Näherung )
f ( x1 )
f ( x1 )
⇒ x 2 = x1 −
x1 − x 2
f ' ( x1 )
Iterationsvorschrift
⇒ x n +1 = x n −
Allgemein:
f ( xn )
(n = 1, 2, 3, ...)
f ' ( xn )
Beispiel: f(x) = 2 + x + ex ⇒ f’(x) = 1 - ex
2 + x n + e xn
⇒ x n +1 = x n −
1 − e xn
Startwert x0 = 1 ⇒ x1 = 1 −
3− e
3,164 − e1,164
= 1,164 ⇒ x 2 = 1,164 −
= 1,146 ...usw.
1− e
1 − e1,164
Problemfälle:
Division durch 0, wegen f’(x) = 0
man entfernt sich von der Nullstelle
D. Die Regel von l’Hospital
sin x
ln x
, lim
, usw.
x x→∞ e x
Grenzübergang in Zähler und Nenner liefert „unbestimmte Ausdrücke“
∞
0
vom Typ „ “ , ,, “
∞
0
Problem: Grenzwert lim
x→0
–45–
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Regel de l’Hospital
f ( x)
mit lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 oder mit lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ gibt:
x→a
x →a
x→a
x →a
g ( x)
f ( x)
f ' ( x)
= lim
, falls f und g differenzierbar und g’(x) ≠ 0
lim
x→a g ( x )
x →a g ' ( x )
Für Grenzwerte lim
x→ a
Anmerkung:
a endlicher Wert, a = +∞ , a = −∞
Zum Beweis:
Für Spezialfall f(a) = g(a) = 0, g’(a) ≠ 0 gilt:
f ( x) − f (a )
f ' (a )
f ( x ) f ( x ) − f (a )
x−a
( x → a)
=
=
→
g ( x ) − g (a )
g ' (a )
g ( x) g ( x) − g (a )
x−a
sin x
cos x
= lim
=1
x
→
0
x
1
1
ln x
1
=0
(2) lim x = lim x = lim
x→∞ e
x → ∞ lim
x →∞ x * e x
Beispiele: (1) lim
x →0
(3) lim
1 − cos x
x→0
(4) lim
x→0
x
xn
e
x
2
x →∞
= lim
x→0
= lim
x →0
sin x
cos x 1
= lim
=
x →0 2
2x
2
nx n −1
e
x
= lim
n * (n − 1) x n −2
x→0
e
x
= ... = lim
x →0
n!
ex
=0
Das heißt: e-Funktion wächst stärker als jede Potenz
a + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n
Folgt: lim 0
=0
x→∞
ex
Bei unbestimmten Ausdrücken vom Typ „ 0 * ∞ “ , „ ∞ − ∞ “ , „ 0 0 “ , „ 1∞ “ , „ ∞ 0 “
∞
0
Rückführung auf Typ „ “ , ,, “.
∞
0
(1) 0 * ∞ oder ∞ * 0
lim f ( x ) * g ( x ) = lim
x→a
x→a
f ( x)
g ( x)
= lim
1
1
x →a
g ( x)
f ( x)
(2) ∞ − ∞
1
1
−

 1
1 
g ( x) f ( x)
 = lim
lim [ f ( x ) − g ( x )] = lim  f ( x ) * g ( x ) − 
−
1
→
x→a
x→a
x
a
(
)
(
)
g
x
f
x



f ( x) * g ( x)
(3) 0 0 , 1∞ , ∞ 0
lim [ f ( x )] g ( x ) = lim e ln[ f ( x )]
x→a
x→a
g( x)
= lim e g ( x )*ln f ( x )
x→a
–46–
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V Integralrechnung
A. Der Integralbegriff
Gesucht: Flächeninhalt zwischen der Kurve y = f(x) ,
x-Achse und den Vertikalen x = a und x = b
Idee:
Näherung mit Rechtecken
b−a
n
Setzen x0 = a , x1 = a + ∆x , x2 = a + 2*∆x , … , xn = a + n*∆x = b
Zerlegen [ a, b ] in n Teilintervalle der Länge ∆x =
n
Rechtecksumme: R( n ) =
∑ f ( x ) * ∆x
i
i =1
Näherung A ≈ R(n) um so besser, je kleiner ≈x, d. h. je größer n
Im Grenzübergang A = lim R (n )
n →∞
n
Definition 1:
Existiert der Grenzwert lim R( n ) = lim
n →∞
n →∞
∑ f ( x * ∆x) , so heißt das
i
i =1
Bestimmte Integral der Funktion f in den Grenzen von a bis b.
b
Schreibweise:
∫ f ( x)dx
a
Anmerkung:
(1) f heißt dann integrierbar auf [a , b]
(2) f stetig auf [a , b] ⇒ Grenzwert existiert
b
Bezeichnungen:
∫ f ( x)dx
a
⇐
a := Untergrenze
b := Obergrenze
f(x) := Integrant
b
Definition 2:
Ist a > b, so setzen wir
∫
a
a
f ( x )dx = −
∫ f ( x)dx
b
–47–
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B. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
t
Variable Obergrenze bei Integral gibt Funktion F(x) :=
∫ f (t )dt
a
Funktion F liefert Flächeninhalt
Änderung der Flächeninhalte sind proportional zu den
Funktionswerten von f, d. h. F’ ~ f
Satz 1:
Ist f stetig an x, so gilt: F’(x) = f(x)
Beweis:
f(x) * h ≤ F(x + h) * F(x) ≤ f(x + h) * h
F ( x + h) * F ( x)
⇒ f ( x) ≤
≤ f ( x + h)
h
⇒ f ( x) ≤ F ' ( x) ≤ f ( x)
nach Skizze:
⇒ F ' ( x) = f ( x)
Definition 1:
Gilt für die Funktion f und F auf einem Intervall I F’(x) = f(x)
So heißt F Stammfunktion von f auf I.
Anmerkung:
f stetig auf [a , b] ⇒ f integrierbar und F(x) =
t
∫ f (t )dt Stammfunktion von f
a
Satz 2:
Seien F1 , F2 Stammfunktion von f auf I. Dann gilt:
F1(x) = F2(x) + Konstante
Beweis:
d
(F1 ( x ) − F2 ( x ) ) = F1 ' ( x ) − F2 ' ( x ) = f ( x) − f ( x ) = 0
dx
⇒ F1(x) - F2(x) = Konstante
(Tangenten überall waagrecht, Steigung = 0)
Satz 3:
Sei F Stammfunktion von f auf [a , b]. Dann gilt:
b
∫ f (t )dt = F (b) − F (a )
a
Beweis:
(nur für stetige f)
x
F1 ( x ) =
∫ f (t )dt
Stammfunktion von f nach Satz 1
a
⇒ F1(x) = F(x) + C
a
F1 (a ) =
∫ f (t )dt = 0
a
⇒ C = − F (a )
b
⇒
∫ f (t )dt = F (b) = F (b) + C = F (b) − F (a )
1
a
–48–
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Für F(b) - F(a) Abkürzung: [F ( x )]ba oder F ( x ) a
b
Anmerkung:
t
Berechnung von
∫ f (t )dt
a
(1) Aussuchen einer Stammfunktion F von f (Nicht immer möglich)
(2) Differenz F(b) - F(a)
C. Das unbestimmte Integral
F1 Stammfunktion von f ⇒ Menge aller Stammfunktionen = { F | F = F1 + C , C ∈ }
Spezielle Bezeichnung:
Definition 1:
Die Funktion f besitzt Stammfunktionen auf dem Intervall I
∫ f ( x)dx = {F | F ist Stammfunktion von F auf I}
∈ ∫ f ( x )dx , dann schreibt man:
(1) Definieren das unbestimmte Integral
(2) Ist F1 Stammfunktion von f, d. h. F1
∫ f ( x)dx =F ( x) + C
1
Integration ist „Umkehrung“ der Differentiation
d
dx
x
∫ f (t )dt = f ( x) ⇔ F ' = f
∫ f ( x)dx =F ( x) + C
für
a
Bekommen Integrationsformeln aus Differentialtabellen
Beispiele:
x α +1
+ C (α ≠ -1)
α +1
∫
1
∫ x dx = ln | x | +C
∫ e dx = e + C
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + C
x α dx =
x
x
usw.
D. Integrationsmethoden
1. Elementare Integrationsregeln
b
Satz 1:
Für c ∈ [a , b] gilt:
∫
c
f ( x )dx =
a
Satz 2:
(1)
∫
a
b
b
a
a
∫ k * f ( x)dx = k * ∫ f ( x)dx
b
f ( x )dx +
∫ f ( x)dx
c
(k = konstant)
–49–
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b
b
b
a
a
a
b
n
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
(2)
b
n
∫ k * f ( x)dx = lim ∑ k * f ( x ) * ∆x = lim k * ∑ f ( x ) * ∆x = k * ∫ f ( x)dx
Beweis zu (1)
n→∞
a
i
b
i
n→∞
i =1
i =1
a
n
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = lim ∑ ( f ( xi ) + g ( xi ))* ∆x
(2)
n→∞
a
i =1
n
= lim
n →∞
∑
b
n
f ( x i ) * ∆x + lim
n →∞
i =1
∑
g ( x i ) * ∆x =
i =1
∫
b
∫
f ( x )dx + g ( x )dx
a
a
2. Partielle Integration
b
Satz 3:
∫ f ( x) * g ' ( x)dx = f
b
b
( x) * g ( x) a
−
a
Kurz:
Beweis:
∫ f ' ( x) * g ( x)dx
a
∫ f * g ' = f * g − ∫ f '*g oder ∫ f '*g = f * g − ∫ f * g'
( f * g )' = f '* g + f * g '
∫
∫
⇒ ( f * g )' dx = ( f '*g + f * g ' )dx
∫
∫
⇒ f * g − ∫ ( f '*g )dx = ∫ ( f * g ' )dx
⇒ f * g = ( f '*g )dx + ( f * g ' )dx
Die geschickte Wahl von f und g’ ist wichtig.
3. Integration durch Substitution
Satz 4:
b
ϕ (b)
a
ϕ (a)
∫ f (ϕ ( x))* ϕ ' ( x)dx = ∫ f (t )dt
Beweisidee:
dϕ
1
= ϕ ' ⇒ dϕ = ϕ ' dx ⇒ dx = dϕ
ϕ'
dx
b
⇒
∫
f (ϕ ( x ) )* ϕ ' ( x )dx =
ϕ (b)
∫
ϕ (a )
a
f (ϕ ) * ϕ '
1
dϕ =
ϕ'
ϕ (b)
∫ f (ϕ )dϕ
ϕ (a )
Umbenennung (t statt ϕ) gibt Integrant aus Satz 4.
Analoger Weg: Grenzen in x-Darstellung lassen und Integrationsergebnis durch Rücksubstitution
in x-Gestallt bringen und erst dann Grenzen einsetzen.
4. Spezialfälle
Satz 5:
(1)
(2)
(3)
1
∫ f (ax + b)dx = a ∫ f (u)du, u = ax + b
1
∫ f ( x) * f ' ( x)dx = 2 f ( x) + C
2
∫
f (' ( x )
f ( x)
dx = ln | f ( x ) | + C
–50–
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du
1
= a , dx = du ⇒ Behauptung
dx
a
du
1
(2) u = f ( x ) ⇒
= f ' ( x ) ⇒ dx =
du
dx
f ' ( x)
Beweis zu: (1) u = ax + b ,
1
u2
1
du = udu =
+ C = f 2 ( x) + C
f ' ( x)
2
2
1
f ' ( x)
1
1
du ⇒
*
du =
du = ln | u | +C = ln | f ( x ) | +C
(3) u = f ( x ) ⇒ dx =
f ' ( x)
u
f ' ( x)
u
∫
∫
u * f ' ( x) *
∫
∫
E. Uneigentliche Integrale
Integrale mit unendlichem Grenzwert oder unbeschränktem Integranten heißen uneigentliche Integrale.
Beispiel: (1) unendliche Grenzen
∞
∞
1
∫x
∫
dx ,
2
1
1
1
dx ,
x
∞
∫
∞
0
cos xdx ,
∫
e x dx ,
−∞
0
1
∫ 1+ x
2
dx
−∞
(2) Unbeschränkter Integrant
1
1
1
∫x
∫
dx ,
2
0
2
1
dx ,
x
0
∫
0
1
( x + 1) 2
3
dx
(3) Unendliche Grenzen und unbeschränkter Integrant
∞
1
∫ x dx
0
∞
t
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
Definition 1: Man setzt
t →∞
a
a
falls Grenzwert mit endlichem Wert existiert.
Das uneigentliche Integral heißt dann konvergent (ansonsten divergent)
a
Anmerkung:
a
∫ = lim ∫
Analog:
−∞
∞
Beispiele: (1)
t
1
∫x
dx = lim
2
t →∞
1
t
(2) lim
t→∞
t→∞
∫
1
und
t
a
∞
−∞
−∞
a
a
t
∫ = ∫ + ∫ = lim ∫ + lim ∫
s →∞
s
t→∞
a
t
 1 
 1

= lim 
+ 1 = 1 konvergent
dx = lim 

2
t →∞  − x 
t →∞  − t
x

0
1
1
∫ x dx = lim [ln | x |]
t
1
t →∞
1
t
∞
= lim ln t − ln 1 → ∞ divergent
t →∞
(3) lim cos xdx = lim [sin x ]0t = lim sin t existiert nicht
t→∞
∫
t →∞
0
0
(4)
t
(5)
∫ e dx = lim [e ]
x
lim
t → −∞
t →∞
t → −∞
t
1
∫ 1+ x
2
x 0
t
(
∞
)
= lim e 0 − e t = 1
t → −∞
dx = [arctan ]ts = arctan t − arctan s →
1
∫ 1+ x
2
∫ cos xdx divergent
0
s
⇒
∞
dx = π
−∞
–51–
π
π
(t → ∞) + ( s → −∞)
2
2
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Bedeutung in der Technik
∞
(1) F ( s ) =
∫ f (t ) * e
− st
dt , Laplace-Integral
0

f (t ) cos(ϖt )dt 

−∞
(2)
 Spektralfunktion zum Fourierintegral
∞

1
b(ω ) =
f (t ) cos(ϖt )dt 
π

−∞
a (ω ) =
1
π
∞
∫
∫
Definition 2: Hat die Funktion f ein Pol in x = b, so setzt man
b
t
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx , falls der Grenzwert mit endlichem Wert existiert.
t ↑b
a
a
Das uneigentliche Integral heißt dann konvergent (ansonsten divergent)
1
Beispiele: (1)
0
1
∫
t
1
(2)
1
∫x
1
[
∫
]
dx
x
1
1
∫
x
t
2
0
1
1
1
dx = x − 2 dx = − x −1 t = −1 + → ∞(t → 0) divergent
2
t
x
t
∫
∫
dx
1
0
(3)
2
1
dx =
∫
t
( x − 1)
 1
x2
=
 1
 2
2
1
3
1
−
x 2 dx
2
∫
dx = ( x − 1)
0
1


 = 2 x

t
−
[ ] = 2−2
2
3
1
t
t → 2(t → 0) konvergent
= lim(33 s − 1 + 3) + lim(3 − 33 t − 1 ) = 6 konvergent
s ↑1
t →1
F. Numerische Integration
a
Näherungsweise Berechnung von
∫ f ( x)dx falls:
b
a
1) Stammfunktion nicht Integralfrei darstellbar (z.B.
∫
b
a
2
sin x
dx, e − x dx )
x
∫
b
2) explizite Berechnung zu aufwendig
Näherung z.B. durch Rechtecksumme:
n
R( n ) =
∑h * f (x )
i
i =1
–52–
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1. Trapez-Regel
Statt Rechtecksumme die Summe von Trapezen
Grundformel mit einem Trapez:
T = (b − a ) *
f ( a ) + f (b) b − a
[ f ( a ) + f (b) ]
=
2
2
Zerlegen [a , b] in n Teilintervalle der Länge h =
b−a
n
Teilpunkt xi = a + i * h
h
[ f ( xi −1 ) + f ( xi )]
2
i-tes Trapez:
Summe aller Flächen :
Ti =
n
n
T (n ) =
∑
Ti =
i =1
=
Trapezsumme:
h
T (n ) =  f (a ) +
2 
n −1
∑
i =1
h
[ f ( xi −1 ) + f ( xi )] = h
2
2
i =1
∑[f (x
i −1 ) +
i =1
h
[ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + ... + 2 f ( x n −1 ) + f ( x n )]
2

∑ f ( x ) + f (b)
i
n

2. Simpson-Regel
Grundformel der Trapez-Regel:
Die beiden Punkte (a , f (a ) ) und (b, f (a ) ) werden
durch Geradenstücke verbunden
Verbesserung durch Kepler-Regel:
 a + b  a + b 
, f
Die drei Punkte (a , f (a ) ) , 
  , (b, f (a ) )
 2 
 2
Werden durch Parabelbogen verbunden.
Flächeninhalt S der Fläche zwischen Parabel und x-Achse von x = a bis x= b.

b−a 
a+b
S=
f (a ) + 4 f 
 + f (b) (ohne Beweis)

6 
 2 

Simpson-Regel: mehrfache Anwendung der Kepler-Regel
Zerlegen [a , b] in gerade Anzahl von Teilintervallen der Länge h =
b−a
n
Sei xi = a + i * h
Kepler-Regel auf [x0 , x2] , [x2 , x4] , [x4 , x6] , ... , [xn-2 , xn]
2h
[ f ( xi ) + 4 f ( xi +1 ) + f ( xi +2 )] (i = 0, 2, 4, 6, ..., n - 2)
Teilflächen: S i =
6
–53–
f ( x i )]
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Summe der Teilflächen:
2h
[ f ( x 0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x 4 ) + ... + f ( x n −2 ) + 4 f ( x n −1 ) + f ( x n )]
S (n ) =
6
n −1

2,
h
⇒ S (n ) =  f ( a ) +
ci f ( x i ) + f (b) , wobei ci =  falls i gerade
3 
4, falls i ungerade

i =1
⇐ Simpsonsumme der Ordnung n (n gerade)
∑
Wahl von n (bzw. der Schrittweite h)
n
Praxis: Verdopplung von n bis S (n ) − S   ≤ ε ε = Genauigkeitsforderung
2
Eventuell relatives Abbruchkriterium:
n
S (n ) − S ( ) ≤ ε S ( n )
2
Beispiel: Näherungsweise Integration einer Funktion, die durch Messpunkte gegeben ist
Allgemeine Bezeichnung:
Newton-Cotes-Formeln (Näherung über Polynom höherer Ordnung)
3. Bode-Regel
Statt Parabelbogen durch 3 Punkte jetzt:
Polynom 4. Grades durch 5 Punkte
b−a
⇒h=
4
Bode-Grundformel (ohne Herleitung)
b−a
[7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x 2 ) + 32 f ( x 3 ) + 7 f ( x n )]
B=
90
Fläche unter dem Polynom 4. Grades:
Zerlegen [a , b] in n Teilintervalle, wobei n ein Vierfaches von 4 ist.
Grundformel mehrfach angewendet gibt:
32, Falls i ungerade
n −1

2h 

B( n ) =
ci f ( x i ) + 7 f (b) , wobei ci = 12, Falls i gerade, aber nicht durch 4 teilbar
7 f ( a ) +
45 
14,
i =1

 Falls i durch 4 teilbar
⇐ Bodesumme der Ordnung n (n Vielfaches von 4)
∑
G. Anwendung der Integralrechnung
1. Flächenberechnung
Gesucht: Flächeninhalt
x1
Zerlegung von [a , b]:
∫
a
x2
f ( x )dx +
∫
x1
x3
f ( x )dx +
∫
x2
b
f ( x )dx +
∫ f ( x)dx
x3
–54–
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Gegeben: Zwei Kurven yo = fo(x) und yu = fu(x)
mit fo(x) ≥ fu(x) auf [a , b]
Gesucht: Flächeninhalt zwischen fo(x), fu(x)
und x = a, x = b
b
A=
∫ ( f ( x) − f
o
u ( x)
a
Unabhängig von der Lage der Kurve bezüglich der x-Achse oder y-Achse
Gesucht: Flächeninhalt zwischen zwei sich schneidenden Kurven
Falls sich zwei Funktionen f(x) und g(x) schneiden,
so ist die Fläche in [a , b]
A=
x1
b
a
x1
∫ ( f ( x) − g ( x))dx + ∫ ( f ( x) − g ( x))dx
2. Bogenlänge
Bogenlänge s wird angenähert durch Länge
n
eines Sehnenpolygons:
∑ ∆s
i
i =1
Für n → ∞ ∧ ∆si → 0 ∀i ergibt sich s.
( ∆s i ) 2 = ( ∆x i ) 2 + ( ∆y i ) 2

 * ∆x i

 ∆y
1 +  i
 ∆x i

 * ∆x i

n
s = lim
b
Gibt:
s=
∫
2
 ∆y
∆si = ( ∆x i ) 2 + ( ∆y i ) 2 = 1 +  i
 ∆x i
∑ ∆s
n →∞
∆xi → 0 i =1
n
i
= lim
∑
n→ ∞
∆xi →0 i =1
2
1 + ( y ' )2 dx
a
3. Rotationskörper
Rotation eines Kurvenstücks um die x-Achse oder y-Achse gibt Rotationskörper
Beispiele:
Rotation um x-Achse
Rotation um y-Achse
–55–
Rotation um x-Achse gibt Kugel
)dx
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Volumenberechnung:
Zerlegen den Körper in Scheiben (Dicke = ∆xi)
Näherung durch Zylinderscheiben:
Volumen: ∆Vi = Grundfläche * Höhe
= π * yi2 * ∆xi
Körpervolumen insgesamt:
n
∑
V = lim
n →∞
∆xi →0 i =1
n
∆Vi = lim
∑
n →∞
∆xi →0 i =1
b
b
∫
πf 2 ( x ) * ∆xi = πf 2 ( x )dx = π
a
∫f
2
( x )dx
a
Rotationsvolumen bei Drehung um die x-Achse:
b
V =π
b
∫f
2
∫
( x )dx = π y 2 dx
a
a
Durch analoge Herleitung: Rotationsvolumen um die y-Achse:
d
∫
d
∫
2
V = π x dy = π g 2 ( y )dy
c
c
Anmerkung:
y = f(x) nach x aufgelöst gibt x = g(y) mit y ∈ [c , d]
Mantelfläche eines Rotationskörpers
Zerlegen Körper in Scheiben
Näherung für Scheibe durch Kegelstumpf
Drehung von ∆si um die x-Achse gibt Kegelstumpf mit Mantelfläche:
M = π ( y i + ( y i + ∆y i ) )* ∆si = π (2 y i + ∆y i )* ∆si
 ∆y
= π (2 y i + ∆y i )* 1 +  i
 ∆x i
n
M = lim
Folgt:
∑
n →∞
∆xi →0 i =1
2

 * ∆x i

(siehe Bogenlänge)
b
M i = 2π 2 y 1 + ( y ' )2 dx
∫
a
Mantelfläche eines Rotationskörpers bei Drehung um die x-Achse
b
M = 2π 2 y 1 + ( y ' )2 dx
∫
a
Mit analoger Herleitung: Mantelfläche bei Rotation der Kurve x = g(y), c ≤ y ≤ d um die y-Achse
b
M = 2π 2 x 1 + (x ' )2 dy
∫
a
–56–