Fachbereich Wasserwirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. Andreas Felgenhauer [email protected] SGA 08 – Mathematik I – Serie 1 H2FMpSs A Wiederholungsaufgaben 1) Ermitteln Sie die Lösungen folgender Gleichungen: a) c) e) (x + 3)(x2 − 2x − 8) = 0 4 b) 2 e 5x + 4 − √ 3x − 2 = 2 2 x + 36 = 13x 2x √ d) (lnx) + lnx = 2 x − 3e + 2 = 0 f) x3 − 5x2 − x + 14 = 0 2) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen: a) y = |x| + 2 b) y = |2x + 1| d) y = |(x − 2)(x + 4)| 3) e) y = |x| + |x − 2| e)y = 1 + | sin 2x| f ) y = |ln(x − 2)| ! Lösen Sie folgende Gleichungen a) d) g) j) sin x = 0.5 sin x = 1 tan x2 = 1 4 cos x = 3 sin x b) cos x = 0.3 e) cos x = −1 h) sin 2x = −0.5 c) tan x = 1.2 f) 2 sin x = −2 i) sin2 x + sin x = 0 B Komplexe Zahlen I 4) Bestimmen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichungen a) x2 + 4x − 5 = 0 b) c) x2 + 4x + 5 = 0 x2 + 4ix + 5 = 0 5) Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 1 + i, z2 = 2 − i, z3 = i und z4 = −3 + 4i . Berechnen Sie alle Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten je zweier dieser vier Zahlen. 6) Berechnen Sie z1 = 1 − 4i , 7+i z2 = −1 + 2i 1 + 3i und z3 = 2 − 3i 4i 7) Berechnen Sie z1 = z2 = z3 = (1 + i)(2 + i)(3 + i)(4 + i) 1 − u + 2u2 für u = 0.2 − 0.7i 2 − 3u + u2 1 1 1 1 + + + −2 + i 1 + 2i 2 + i −1 + 2i 1 8) Berechnen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahlen u, indem Sie den Ansatz (a+bi)2 = u ausmultiplizieren (d.h. a2 + 2abi − b2 = u) und die reellen Zahlen a und b so bestimmen, daß die Gleichheit gilt. Wählen Sie für u a) 9) u = i, b) u = −5 − 12i, c) u = 3 − 4i Bestimmen Sie in der Gaussschen Zahlenebene alle Zahlen mit Re z 2 ≥ 0. 10) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dar und skizzieren Sie die Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene z2 = 1.2 − 0.5i, z1 = 2 + 3i, z4 = −3 − 4i, z5 = −2 und z3 = 5i, z6 = −1.234 + 5.678i . 11) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem für die komplexen Zahlen u und v (2 − i)u u + iv + (1 + i)v 2 = = 2+i 2