Vorkurs Mathematik für EI Prof. Dr. J. Dorfmeister Thorsten Knott TU München WS 12/13 Komplexe Zahlen 2: Polardarstellung 1. Jede komplexe Zahl z = x + iy 6= 0 kann man eindeutig darstellen in der Form: z = reiϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ) mit r = |z| > 0 und komplexen Zahl z ϕ ∈ ]−π, π]. Diese Darstellung ϕ = arg z . nennt man Polardarstellung der und schreibt 2. Umrechnung von der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung: z = x + iy 6= 0 Sei Mit r = |z| und ∈ R. x ,y ≥ 0 arccos r ϕ= − arccos x , y < 0 r mit x, y gilt z = reiϕ . 3. Wichtige Funktionen in Exponentialdarstellung : sin x = eix − e−ix 2i eix + e−ix 2 x e − e−x sinh x = 2 ex + e−x cosh x = 2 cos x = 1. Stellen sie in der Form z = x + iy dar: π (a) ei 6 (b) e− 3i (c) ei 4 (d) e−i 4 (e) ei 4 · e−i 4 5π π π π π 2. Berechnen Sie für die folgenden komplexen Zahlen (a) z =1+i (b) z= (c) π π z = sin 13 + i cos 13 √1 2 − z die Ausdrücke |z| √i 2 3. Berechnen Sie explizit die Polarzerlegung folgender komplexer Zahlen: (a) z= (b) z= −2 √ 1+ 3i i −2−2i 4. Zeigen Sie, dass für alle ϕ∈R gilt: iϕ e = 1. Was bedeutet das geometrisch? 1 und z |z| : 5. z =3−i (a) Berechnen und skizzieren Sie für und und w = 4ei 6. Zeigen Sie für z∈R z = reiϕ die konjugiert komplexe Zahl z verdeutlicht. mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion: (a) (cos z)2 + (sin z)2 = 1 (b) cosh(iz) = cos(z) (c) sinh(iz) = i sin(z) (Tutorübung Mathematik 4, SS 2010) Rechnen Sie nach, dass 8. z und geben Sie sie in der Eulerschen Darstellung an. Fertigen Sie eine allgemeine Skizze, die die gegenseitige Lage von z und 7. die komplex konjugierten Zahlen w. (b) Berechnen Sie nun für eine allgemeine komplexe Zahl z 5π 6 ez = ez . (Nach Zentralübung elektrische Energietechnik, SS 2010) 𝑗𝑋𝑑 𝐼 ~ 𝑈𝑝 𝑈= 𝑈𝑁 3 Abbildung 1: Einphasiges Ersatzschaltbild eines Synchrongenerators In Abbildung 1 ist das einphasige Ersatzschaltbild eines Synchrongenerators dargestellt. Dabei ist U √N die Klemmenspannung, UN die Nennspannung, I der Strangstrom, Up die Polradspannung 3 und Xd die synchrone Reaktanz. Bei den unterstrichenen Variablen handelt es sich um komplexe U= Gröÿen. Die Klemmenspannung U wird zur Vereinfachung als rein reelle Spannung U angenommen. Xd = 2, 2 Ω UN = 21 kV ◦ I = 11, 0 · e−j36,87 kA Hinweis: In der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit meist mit gen mit dem zeitlich variablen Strom, welcher mit i j bezeichnet um Verwechslun- abgekürzt wird, zu vermeiden. Beachten Sie zur Umrechnung eines Winkels von Gradmaÿ in Bogenmaÿ die Relation (a) Berechnen Sie den Wirkstrom Iw ∈ R und den Blindstrom Ib ∈ R 1◦ = π 180 . aus der Darstellung I = Iw − jIb (b) Berechnen Sie aus der Maschengleichung Up = U + jXd I die Gröÿen Up , |Up | (c) Zeichnen Sie I , Iw und und arg(Up ). Ib in der komplexen Ebene. (Maÿstab (d) Zeichnen Sie auch den Spannungszeiger Up komplexe Ebene. Zeichnen Sie anschlieÿend den Vektor Up U , so dass Sie (Maÿstab 5 kV=1 ˆ cm) und 2 kA=1 ˆ cm) U als Vektoren in die jXd I = Up − U als Dierenz von und die relle Spannung ein Dreieck mit den genannten Spannungszeigern als Seiten erhalten. (e) Bestimmen Sie aus dem Diagramm den Winkel zwischen dem Spannungszeiger reellen Achse. Vergleichen Sie diesen Winkel mit dem Winkel zwischen Erklären Sie Ihre Beobachtung. 2 I jXd I und der und der reellen Achse. 9. Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen: (b) (1 − i)100 √ 111 3 1 2 + 2i (c) (1 + i)2n + (1 − i)2n (a) (n ∈ N) 10. Im Folgenden sollen alle Punkte z∈C skizziert werden, die z 6 = −1 erfüllen. Gehen Sie hierzu wie folgt vor: (a) Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form √ √ z2 = −i, z1 = i, z3 = 3 1 + i, 2 2 z = reiϕ : z4 = √ 3 1 − i, 2 2 z5 = − 3 1 + i, 2 2 √ z6 = − 3 1 − i 2 2 (b) Zeigen Sie nun, dass die komplexen Zahlen aus (a) die angegebene Gleichung erfüllen. (c) Zeichnen Sie die sechs Punkte in die Gauÿsche Zahlenebene C ein. Wo benden sich die Punkte geometrisch? (d) Begründen Sie, warum bereits aus der Gleichung z∈C ersichtlich ist, dass für eine Lösung |z| = 1. gilt: 11. Finden Sie alle z 6 = −1 z ∈ C, für die gilt: |z| = i · z 2 Diese Aufgabe wurde in der ersten Woche schon einmal gestellt. Verwenden Sie diesmal algebraischen Ansatz der Form z = a + ib, geometrisch und verwenden Sie die komplexe 12. Für z ∈ C \ {0} keinen sondern interpretieren Sie die Multiplikation mit e-Funktion i und deren Rechenregeln. deniert man den komplexen Logarithmus durch die Formel: ln z = ln |z| + i arg(z), wenn ln z z = eit , −π < t < π , gilt. Man setzt dann t = arg(z). Beachten Sie: Für mit dem bereits bekannten natürlichen Logarithmus überein. ln z für: √ z = 2 − 2 3i z = −3 √ 1 1 z = − 2e + 2e 3i (a) Berechnen Sie (b) Für welche z∈C gilt: exp(ln (z)) = z ? (c) Für welche z∈C gilt: ln (exp(z)) = z ? 13. Beweisen Sie: (a) arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2πk für ein k ∈Z (b) arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2πk für ein k ∈Z Für welche z1 , z2 gilt: arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )? 3 z ∈ R, z > 0 stimmt