Blatt 04 - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Carsten Trunk
Dipl.-Math. Tilman Selig
Blatt 04
30. Mai 2011
Funktionentheorie
im SS 2011
Abgabe am 7.6.2011. Besprechung in der Übung am 8.6.2011.
Aufgabe 11: Sei z 6= 0 eine komplexe Zahl. Eine Zahl ζ ∈ C heißt ein Logarithmus von
z, wenn eζ = z ist.
(a) Zeige, dass jede komplexe Zahl z 6= 0 unendlich viele Logarithmen besitzt.
(b) Bestimme alle Zahlen z ∈ C für die gilt: z 4 = 2i.
Definition 1. Eine stetige Funktion f : G → C auf einem Gebiet G ⊂ C \ {0} heißt eine
Logarithmusfunktion, falls sie der Bedingung
ef (z) = z,
∀z ∈ G
genügt.
Zu einer Logarithmusfunktion f definieren wir eine Potenzfunktion auf G durch
z w := ewf (z) ,
∀z ∈ G.
Definition 2. Auf
G− := C \ R−
0
definieren wir die Argumentfunktion arg durch
arg : G → (−π, π)

z
, Re z > 0
arctan Im


Re z 
Re z
arccos |z| , Im z > 0
arg(z) :=


− arccos Re z , Im z < 0
|z|
Bemerkung: arg : G− → C ist wohldefiniert.
Definition 3. Für z ∈ G− definieren wir den komplexen Hauptzweig des Logarithmus
als
log : G− → C
log(z) := ln |z| + i arg(z).
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Prof. Dr. Carsten Trunk
Dipl.-Math. Tilman Selig
Aufgabe 12: (a) Zeige, dass die Abbildung
R2 \ {(λ, 0) : λ < 0} → R2 :
(x, y) 7→ (Re arg(x + iy), Im arg(x + iy))
reell total differenzierbar ist, dass aber arg : G → C nicht komplex differenzierbar ist.
(b) Zeige, dass der Hauptzweig des Logarithmus auf G− eine Logarithmusfunktion darstellt.
(c) Zeige, dass der Hauptzweig des Logarithmus auf G− holomorph ist und bestimme
seine komplexe Ableitung.
Aufgabe 13: Der Hauptzweig der Wurzelfunktion ist definiert durch
√
1
1
z := z 2 := e 2 log(z) ,
wobei log Hauptzweig des Logarithmus ist.
√
(a) Zeige, dass · die obere komplexe Halbebene in sich selbst abbildet, d.h.
√
Im z > 0 ⇒ Im z > 0.
(b) Bestimme den Hauptwert der Wurzelfunktion von 1 + i, d.h.
√
1 + i.
Aufgabe 14: Bestimme für die folgenden Funktionen die Art der Singularität in z0 und
gegebenenfalls die Ordnung des Pols.
π
1
1
(a)
in
z
=
0,
(b)
sin
in
z
=
i,
(c)
in z0 = 0.
0
0
1 − ez
z2 + 1
z − sin(z)