Funktionentheorie 1 - Mathematisches Institut Heidelberg

Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
20. 05. 2016
Funktionentheorie 1 – Übungsblatt 5
Aufgabe 1
(2+1+2+1+1+2 Punkte)
Es sei wie in der Vorlesung
Log : C× → C,
Log(z) = log(|z|) + i Arg(z),
mit − π < Arg(z) ≤ π.
Die Einschränkung von Log auf die entlang der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene C wird
als Hauptzweig des (komplexen) Logarithmus bezeichnet.
(a) Es seien w, z ∈ C× . Man zeige die folgende Äquivalenz:
⇔
Log(zw) = Log(z) + Log(w)
Arg(z) + Arg(w) ∈ (−π, π ].
Für w, a ∈ C, w 6= 0 definiren wir w a := e a Log(w) . Man zeige:
(b) Es gilt w a+b = w a wb für alle a, b ∈ C.
(c) Für w, z, a, b ∈ C und w, z 6= 0 gilt im Allgemeinen weder w a z a = (wz) a noch (w a )b = w ab . Man
gebe je ein Gegenbeispiel an.
(d) Gilt in den Voraussetzungen von (c) zusätzlich Re(w), Re(z) > 0, so ist w a z a = (wz) a .
(e) Die Abbildung f : C → C, f (z) = zs ist für alle s ∈ C holomorph und es gilt f 0 (z) = szs−1 .
(f) Man bestimme Real- und Imaginärteil der Zahlen ii und (−1 + i )1+i .
Aufgabe 2
(3+2 Punkte)
Wie in der vorigen Aufgabe sei Log : C → C der Hauptzweig des Logarithmus.
(a) Sei die logarithmische Reihe gegeben durch
∞
λ(z) :=
(−1)ν−1 ν
z .
ν
ν =1
∑
Man zeige, dass der Konvergenzradius von λ gleich 1 ist und für z ∈ C mit |z| < 1 die logarithmische Reihe den komplexen Logarithmus darstellt:
Log(z + 1) = λ(z).
(b) Wir wollen in diesem Aufgabenteil den Zusammenhang von Arg mit arccos untersuchen. Der
arccos ist die (reelle) Umkehrfunktion von cos auf dem Intervall [0, ∞] , also
arccos(t) = φ
⇔
Man zeige: Für z = x + iy ∈ C× gilt


π,
Arg(z) =

sign(y) · arccos
0≤φ≤π
und
cos(φ) = t.
falls y = 0 und x < 0,
x
p
x2
+ y2
!
,
sonst.
Bemerkung: Gemäß der Vorlesung ist der Logarithmus Log : C → C holomorph auf C . Nach Aufgabe 3, Blatt 3, sind Real- und Imaginärteile holomorpher Funktionen harmonische Funktionen (hinreichende Differenzierbarkeit vorausgesetzt). Insbesondere sind also
!
q
x
2
2
log
x +y
und arccos p
x 2 + y2
harmonische Funktionen auf R2 \ {0}.
Sommersemester 2016
Dr. Hendrik Kasten
Felipe Müller
Aufgabe 3
(1+2+2+3+2 Punkte)
In dieser Aufgabe wollen wir den binomischen Lehrsatz für komplexe Exponenten beweisen. Sei für
σ ∈ C und n ∈ N0 der Binomialkoeffizient gegeben durch
σ
:= 1
0
und
n −1
σ
σ−ν
:= ∏
n
ν+1
ν =0
für n ∈ N.
Die binomische Reihe zu σ ∈ C wird gegeben durch
∞
σ ν
β σ (z) := ∑
z .
ν
ν =0
Zum Beispiel stimmt der Binomialkoeffizient (σn) für σ ∈ N0 und für alle n ∈ N0 mit der herkömmlichen
Definition des Binomialkoeffizienten für positiv ganzzahlige Argumente überein. Insbesondere bricht
die binomische Reihe β m für m ∈ N0 ab:
∞
m m ν
m ν
β m (z) = ∑
z = ∑
z = (1 + z ) m .
ν
ν
ν =0
ν =0
Sei im Folgenden σ ∈ C.
(a) Man zeige die Gültigkeit folgender Rekursionsformel.
σ
σ−n σ
.
=
n+1 n
n+1
(b) Man bestimme den Konvergenzradius von β σ in Abhängigkeit von σ.
(c) Man zeige: β σ (z) ist holomorph auf {z ∈ C | |z| < 1} und es gilt
β0σ (z) =
σ
β σ ( z ).
1+z
(d) Man beweise: Zwischen der Exponentialreihe, der logarithmischen Reihe (vgl. Aufgabe 2) und
der binomischen Reihe besteht die Gleichung
β σ (z) = exp(σλ(z)),
für σ ∈ C und z aus dem Gebiet U1 (0).
Bemerkung: Wir erhalten also für z ∈ C mit |z| < 1 und σ ∈ C
(1 + z )
∞
σ ν
= exp(σ Log(1 + z)) = exp(σλ(z)) = β σ (z) = ∑
z .
ν
ν =0
σ Def.
Def.
(e) Sei nun x ∈ R>0 , z ∈ C mit xz < 1 und σ ∈ C. Man zeige die allgemeine binomische Formel
gegeben durch
∞
( x + z)σ =
σ
∑ ν zν x σ−ν .
ν =0
Abgabe: Bis Freitag, den 27. Mai 2016, bis spätestens 13 Uhr in die Tutorenbriefkästen im ersten Stock
im Mathematikon.
Sommersemester 2016
Dr. Hendrik Kasten
Felipe Müller