Serie 3 - Komplexe Analysis (ITET/RW), FS 2015 - D-MATH

Frühlingssemester 2015
Prof. Dr. F. Da Lio
R. Gantner
Komplexe Analysis für
ITET und RW/CSE
ETH Zürich
D-MATH
Serie 3
Aufgabe 3.1
Komplexe Differenzierbarkeit
(3.1a) Verwenden Sie die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten
um eine Funktion v(r, ϕ) herzuleiten, so dass f (r, ϕ) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) im Ursprung verschwindet und auf ganz C komplex differenzierbar ist, wobei u gegeben ist durch
u(r, ϕ) = r2 sin(2ϕ).
Stellen Sie die resultierende Funktion als Funktion von z ∈ C dar.
H INWEIS : Die CR-DGLen in Polarkoordinaten sind:
1 ∂v
∂u
=
∂r
r ∂ϕ
∂v
1 ∂u
=−
.
∂r
r ∂ϕ
(3.1b) Ermitteln Sie mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, in welchen
Punkten z ∈ C die Funktion
g(z) = g(x + iy) = y 3 − ix3 + 3(x2 y − ixy 2 )
komplex differenzierbar ist. In welchen Punkten z ∈ C ist diese Funktion analytisch?
Aufgabe 3.2
Holomorphe Funktionen
(3.2a) Gegeben Sei die Funktion u(x, y) = 2x3 − 6xy 2 + 3x2 − 3y 2 . Finden Sie eine Funktion
v(x, y), so dass
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
holomorph auf ganz C ist.
(3.2b)
Zeigen Sie, dass die Funktionen
i) f1 (z) = sinh(z) =
ii) f2 (z) = ez
ez −e−z
2
2 +z
iii) f3 (z) = ez − 1
auf ganz C analytisch sind. Finden Sie ausserdem alle Nullstellen dieser Funktionen in C.
Problem Sheet 3
Page 1
Problem 3.1
(3.2c)
Die analytische Funktion f besitze den Realteil
u(x, y) = ex (x cos y − y sin y).
Welches ist der zugehörige Imaginärteil?
Hinweis: Cauchy–Riemannsche Differentialgleichungen.
Aufgabe 3.3
Rechenregeln des Logarithmus in C
(3.3a) (Übung 1.10 vom Skript) Bestätigen Sie, dass die aus der reellen Analysis bekannte
Rechenregel ln(xy) = ln(x) + ln(y) auch für den komplexen Logarithmus gilt, also
log(z · z 0 ) = log z + log z 0 .
Dabei ist die Summe zweier Mengen elementweise zu interpretieren, d.h. für A, B ⊂ C ist
A + B = {a + b ∈ C : a ∈ A , b ∈ B} .
Hinweis: Verwenden Sie die Identität log z = ln |z| + i arg z.
(3.3b) Geben Sie ein Beispiel an, dass der Hauptwert des Logarithmus, also jener Repräsentant
w = Log z von log z = {w ∈ C : ew = z} im Streifen S = {w ∈ C : −π < Im w < π}, diese
Rechenregel nicht erfüllt. Finden Sie also zwei Zahlen z, z 0 ∈ C∗ mit
Log(z · z 0 ) 6= Log z + Log z 0 .
(3.3c)
Zeigen Sie, dass der Hauptzweig des Logarithmus
Log z = ln |z| + i Arg(z) ,
wenn betrachtet auf C∗ = C \ {0} nicht stetig ist. Dabei ist wie üblich Arg(z) der Hauptwert des
Arguments mit Werten in (−π, π].
Aufgabe 3.4
Konzepte aus der Topologie
(3.4a) Bestimmen Sie für die folgenden Mengen welche der Eigenschaften zutreffen: offen,
abgeschlossen, einfach zusammenhängend.
i) C
v) C−? := C\(−∞, 0]
ii) {}
vi) C? := C\{0}
iii) C\[−1, 1]
vii) Ba (1) := {z ∈ C : |z − a| ≤ 1}
iv) C\{z ∈ C : Im(z) = 0}
viii) B−1 (2) ∩ B1 (2)
Publiziert am 12. März.
Einzureichen am 19./20. März.
Last modified on 11. März 2015
Problem Sheet 3
Page 2
Problem 3.3