Elektrodynamik (WS 14/15)

Elektrodynamik (WS 14/15)
Übung XI (Abgabe: 12.01.15)
1. Retardierte Potentiale einer gleichförmig bewegten Ladung (7 Punkte)
~ ret einer Punktladung mit
Bestimmen Sie die retardierten Potentiale φret und A
Ladung q, die sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit ~v = vx~ex im Vakuum
~ r, t) und die rebewegt. Bestimmen Sie auch das retardierte elektrische Feld E(~
~ r, t).
tardierte magnetische Induktion B(~
Hinweise: Stellen Sie zunächst die Ladungs- und Stromdichte der bewegten
Punktladung auf. Bestimmen Sie die Potentiale z.B. mit den Gleichungen für
die Liénard-Wiechert-Potentiale (222, 223) aus der Vorlesung.
2. Lösung der eindimensionalen Wellengleichung (5 Punkte)
Zeigen Sie, dass die homogene Lösung
ˆ
∞
dk a(k)ei(kx−ωt) , mit ω = c|k|,
φ(x, t) =Re
−∞
der eindimensionalen Wellengleichung
ist:
∂2
∂ x2
−
1 ∂2
c2 ∂ t 2
φ = 0 von folgender Form
φhom (x, t) =f (x − ct) + g(x + ct).
Dabei ist a(k) eine komplexe Funktion, k ist reell, f und g sind beliebige, reelle
2
Funktionen. Welche Zeitabhängigkeit hat eine solche Welle für f (x) = f0 e−γx
und g = 0?
Hinweise: Formen Sie die erste Gleichung mit Re z =
dann die Bereiche k < 0 und k > 0 getrennt.
(z+z ∗ )
2
um. Betrachten Sie
3. Stehende Welle (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass die stehende Welle f (z, t) = A sin(kz) cos(kct) die homogene
Wellengleichung erfüllt. Drücken Sie f (z, t) als Summe von Wellen, die in positive
bzw. negative k-Richtung propagieren, aus.
4. Drehimpulsbilanz des elektromagnetischen Feldes (4 Punkte)
Das in der Abbildung dargestellte Experiment (Feynman’s disc) zeigt, dass das
elektromagnetische Feld neben Impuls auch Drehimpuls trägt. Die gesamte Anordnung sei in Ruhe, und die Spule werde vom konstanten Strom I durchflossen.
Was passiert (und warum?), wenn der Strom unterbrochen wird? Zeigen Sie, dass
aus der Impulsbilanz
∂
~π + ∇ · P = −f~, mit
∂t
∇·P
α
=
X ∂
Pαβ ,
∂
x
β
β
eine Drehimpulsbilanz folgt und interpretieren Sie die darin auftretenden Größen.
Hier ist P der Maxwellsche Spannungstensor, mit den Elementen Pαβ .
Elektrodynamik (WS 14/15)
Präsenzübung 05.01.15
1. Kugelwelle
~
Zeigen Sie, dass auch u(~r, t) = ur0 ei(k·~r−ωt) die homogene Wellengleichung
2u(~r, t) = 0 im Bereich r 6= 0 erfüllt. Welche Eigenschaften besitzt eine solche Welle im Vergleich zur in der Vorlesung besprochenen ebenen Welle?
Hinweis: Verwenden Sie den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:
∂2 f
1
∂
1
sin θ ∂∂ fθ + r2 sin
∆f = r12 ∂∂r r2 ∂∂ fr + r2 sin
2 θ ∂ ϕ2
θ ∂θ