Ferienkurs Experimentalphysik 3

Wellengleichung und Polarisation
05.03.2012
Ferienkurs Experimentalphysik 3
Wellengleichung und Polarisation
Qi Li, Bernhard Loitsch, Hannes Schmeiduch
Montag, 05.03.2012
Inhaltsverzeichnis
1 Licht als elektromagnetische Welle
2
1.1
Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Wellenfunktion und Dispersionsrelation
1.3
Energietransport
1.4
Wellenpakete
2
. . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Polarisation
6
3 Verhalten an Grenzächen - Brechung und Reexion
7
3.1
Fermat'sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Snellius'sches Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Fresnel-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4
Reektion- und Transmissionskoezient . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5
Brewsterwinkel und Totalreektion . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4 Verhalten im Materie
4.1
Absorption
8
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Wellenausbreitung in anisotropen Medien
1
13
14
Wellengleichung und Polarisation
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1 Licht als elektromagnetische Welle
1.1 Maxwell-Gleichungen
Eine elektromagnetische Welle in einem Medium lässt sich mithilfe der MaxwellGleichungen beschreiben. Diese können noch leicht vereinfacht werden durch
folgende Annahmen:
•
In fast allen Anwendungsgebieten der Optik nehmen wir nichtmagnetische
Medien an, also gilt für die relative Permeabilität:
µ=1
•
Für den Fall nichtleitender Materialien verschwinden Ladungsdichte
Stromdichte
#»
j:
ρ und
#»
ρ = 0, j = 0
Damit lassen sich die
Maxwell-Gleichungen
zur Beschreibung einer EM-
Welle im Vakuum so darstellen:
Dabei ist
∇·E=0
(1)
∇·B=0
(2)
∂B
∂t
∂E
∇ × B = µ0 0
∂t
∇×E=−
(3)
(4)
µ0 = 1, 2566 · 10−6 AN2 die magnetische Feldkonstante, die di3
Leitfähigkeitund 0 = 8.854 · 10−12 NCm2 die dielektrische Feld-
elektrische
konstante im Vakuum.
Um zur Wellengleichung von
E
bzw.
B
zu gelangen, bildet man die Rotation
(∇×) von Gleichung (3) bzw. (4), hier z.B für
E:
∂B
)
∂t
2
∂
∂ E
= − (∇ × B) = −µ0 0 2
∂t
∂t
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2 E = ∇ × (−
Beachtet man
∇ · E = 0,
so erhalten wir also als
∆E = µ0 0
•
Die
∂2E
,
∂t2
Wellengleichung:
∆B = µ0 0
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
(5)
∂2B
∂t2
(6)
hängt mit der Permeabilität
und der dielektrischen Leitfähigkeit zusammen:
c0 = √
•
1
m
= 2, 998 · 108
µ0 0
s
1
Der Einuss des Mediums wird durch den Faktor √
n=
√
wird als
Brechungsindex des Mediums
2
=
1
n beschrieben;
bezeichnet.
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1.2 Wellenfunktion und Dispersionsrelation
Als einfachste Lösung für die Wellengleichung erhalten wir eine
#»
k
die sich in Richtung des Wellenvektors
ebene Welle,
ausbreitet:
#»
E( #»
r , t) = E0 cos( k #»
r − ωt + ϕ)
(7)
oder in komplexer Exponentialschreibweise
#»
Ec ( #»
r , t) = E0,c exp(i( k #»
r − ωt + ϕ)
(8)
Die komplexe Schreibweise erleichtert das Rechnen, allerdings sollte als Ergebnis einer Rechnung immer nur der Realteil der Wellenfunktion gelten.
Setzen wir die Wellenfunktion in Gl. (6) ein, so bekommen wir einen linearen
Zusammenhang zwischen Wellenvektor
Dispersionsrelation:
Wellenlänge
und Wellenfrequenz
ω,
die
optische
ω
2π
=
c0
λ
(9)
2πc0
2π
=
k
nω
(10)
k =n·
mit der
#»
k
λ
λ=
Aus den Maxwell-Gleichungen folgt auÿerdem
3
Wellengleichung und Polarisation
• E•
und
B-Feld
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stehen senkrecht zueinander und zum Wellenvektor
die Amplituden der
E-
und
B=
B-Felder
sind miteinander verknüpft:
k #»
1
( e k × E) = ( #»
e k × E)
ω
c0
|E0 | =
#»
k.
(11)
c0
1
|B0 | = √
|B0 |
n
0 µ0
(12)
1.3 Energietransport
Bei der Ausbreitung transportiert die elektromagnetische Welle Energie entlang
des Wellenvektors. Die Energiestromdichte (Energie pro Zeit pro Fläche
wird durch den
Poynting-Vektor
#»
⊥k)
S beschrieben.
1
(E × B) = 0 c20 (E × B)
µ0
=
c0 0 E02 cos2 (kz − ωt) #»
ez
|
{z
}
S=
(13)
Realteil einer ebenen Welle in z-Richtung eingesetzt
Durch die zeitliche Mittelung von
S über eine Schwingungsperiode der Feldes
I
erhalten wir die Strahlungsuÿdichte oder Lichtintensität
I = h|S|i = 0 c0 h|E|2 i
I=
1
0 c0 E02
2
(14)
(15)
Licht überträgt bei Bestrahlung neben Energie auch einen Impuls auf eine
Fläche. Der daraus resultierende
Strahlungsdrucklässt
tensität berechnen.
PS =
I
c0
sich aus der Lichtin-
(16)
Bei Reektion wirkt aufgrund der Impulserhaltung der doppelte Strahlungsdruck auf die betreende Fläche.
4
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1.4 Wellenpakete
Eine wichtige Eigenschaft der Wellengleichung Gl. (6) ist, dass wegen des Superpositionsprinzip eine Kombination von Lösungen die Wellengleichung ebenfalls
löst. D.h. wenn
E1 , E2
beide Gl. (6) erfüllen, erfüllt
E1 + E2
ebenfalls die Glei-
chung. Damit können Wellenpakete mit deniertem zeitlichen und räumlichen
Verlauf bzw. unterschiedliche Wellenformen aus vielen einfachen Wellenfunktionen gebastelt werden. Mathematisch wird das Wechseln der Feldverläufe (sei
es in Abhängigkeit von der Zeit oder Frequenz o.a.) per Fourier-Transformation
gemacht (zur Einfachheit bleiben wir am Ursprung
1
E(t) = √
2π
#»
r = 0):
Z∞
E(ω)exp(−iωt)dω
(17)
−∞
und zurück
1
E(ω) = √
2π
Z∞
E(t)exp(iωt)dt
(18)
−∞
Bei Wellenpaketen, z.B. einer ebenen Welle mit modulierter Amplitude, können die Geschwindigkeit, mit der die eigentliche Welle sich ausbreitet, und die
Ausbreitungsgeschwindigkeit ihrer Hüllkurve berechnet werden.
•
Phasengeschwindigkeit
•
Gruppengeschwindigkeit
vph =
d #»
r (t)
dt
vgr =
5
=
dω
ω0
k0
dk ω0
=
=
c0
n
c0
n
−
k·c0 dn
n2 dk
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2 Polarisation
Die Tatsache, dass die EM-Felder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen,
legt eine Ebene fest, in der z.B. das E-Feld schwingen kann. Nehmen wir an,
dass der Wellenvektor in die z-Richtung zeigt, so können wir eine beliebige ebene
Welle schreiben als:


Ex0 cos(kz − ωt)
E =  Ey0 cos(kz − ωt + ε) 
0
mit
ε
(19)
als Phasenunterschied zwischen den x und y-Komponenten. Man kann 3
Polarisationsarten unterscheiden:
•
linear polarisiert:
ε=0
oder
ε = ±n · 2π , E0x
und
Eoy
schwingen in
Phase und die Richtung des E-Feldes ist durch einen konstanten Vektor
gegeben.


E0x
E =  E0y  cos(kz − ωt) = E0 cos(kz − ωt)
0
•
zirkular polarisiert:
die Spitze des
(20)
ε = π2 + mπ, m = 0, 1, 2..., |E0x | = |E0y | = E0 ,
Feldvektors E beschreibt eine Kreisbahn in der xy-Ebene:


cos(kz − ωt)
E = E0  ±sin(kz − ωt) 
(21)
0
6
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In Zusammenhang mit dem Strahlungsdruck vermittelt eine zirkular polarisierte Welle einer Fläche einen Drehimpulsübertrag.
elliptisch polarisiert: ε 6=
•
π
2 + mπ , |E0x |
beschreibt eine Ellipse in der xy-Ebene.
•
Das natürliche Licht ist gröÿtenteils unpolarisiert, d.h. sie besteht aus
=
6 |E0y |, Spitze des Feldvektors
beliebigen Linearkombinationen der drei Polarisationsarten.
•
Die Polarisation von Lichtstrahlen kann man beispielsweise mit Polarisatoren verändern, die nur den Anteil der Strahlung durchlassen, d
k
zur
Polarisatorrichtung steht.
3 Verhalten an Grenzächen - Brechung und Reexion
Grundlage zur Beschreibung von Reexion und Brechung von EM-Wellen an
Grenzächen (Übergang zwischen Medien unterschiedlicher optischer Eigenschaften) sind wiederum die Maxwell-Gleichungen. Aus diesen gehen Randbedingungen hervor, die Wellen an Grenzächen erfüllen müssen. Zuerstmal Begrie:
•
Die
Grenzäche
trennt die unterschiedlichen Medien. Sie ragt in den
folgenden Zeichnungen meist aus der Bildebene heraus.
•
Die
Einfallsebene #»bezeichnet
die Ebene ⊥ zur Grenzäche, worauf sich
#» #»
die Wellenvektoren
k e, k r , k t
(einfallend, reektiert, transmittiert) ben-
den. Im Folgenden steht sie meist parallel zur Bildebene.
Für Grenzächen von zwei isotropen, isolierenden und nicht magnetischen
Medien gilt:
(1)
(2)
D⊥ = D⊥
(1)
Eq
(1)
B⊥
(1)
Hq
(2)
= Eq
(22)
•
Die
Komponenten
D = 0 E
der
dielektrischen
Verschiebung
normal zur Grenzäche sind stetig.
(23)
•
Die Tangentialkomponenten vom E-Feld sind stetig.
=
(2)
B⊥
(24)
•
Die Normalkomponenten vom B-Feld sind stetig.
=
(2)
Hq
(25)
•
Die Tangentialkomponenten von der magnetischen
Feldstärke
H=
1
µµ0 B sind stetig.
Erste Folgen der Randbedingungen für die Wellen sind:
7
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•
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Frequenz des Lichts ändert sich nicht an der Grenzäche:
ωe = ωr = ωt
•
(26)
θe = θr
Enfallswinkel ist gleich Reexionswinkel:
3.1 Fermat'sches Prinzip
Unter dem Fermat'schen Prinzip versteht man:
Licht nimmt in einem inhomogenen Medium einen extremalen Weg von einem Punkt zu einem Anderen.
Der extremale Weg ist z.B. der Weg, den das Licht zeitlich an schnellsten
durchlaufen kann.
t(r) =
X
ti =
X ri
ci
=
1 X
Wi
c0
dt !
=0
dr
(27)
(28)
Da die Lichtgeschwindigkeit im Medien von deren Brechungsindizes abhängt,
führt man den
optischen Weg
ein:
Wi = ni · ri
ni
soll Brechungsindex im Medium i sein,
ri
(29)
die im Medium i zurückgelegte
Strecke.
3.2 Snellius'sches Brechungsgesetz
Aus der Gl. (22) kann man nun eine Beziehung zwischen den Einfalls- und
Transmissionswinkeln aufstellen.
ke sinθe = kt sinθt
Mithilfe von
ke /kt = ne /nt
erhält man das
8
Snellius'sches Brechungsgesetz:
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sinθe
ne
=
sinθt
nt
(30)
3.3 Fresnel-Formeln
Neben Aussagen zur Richtung der einzelnen Wellen an der Grenzäche kann
mit der Randbedingungen auch die Intensitätenverhältnisse bestimmt werden.
Anfangen kann man mit der Betrachtung eines senkrechten Lichteinfalls auf die
Grenzäche. Dabei kann man für die elektrische Feldstärke einen Reexionskoezienten r und Transmissionskoezienten t festlegen:
E0r =
ne − nt
E0e = rE0e
ne + nt
und
E = tE0e
Wenn wir nun nicht senkrechten Lichteinfall betrachten, können wir zwei Fälle
unterscheiden,
1. dass das E-Feld
k
zur Grenzäche und
hat also Komponenten sowohl
2. dass das B-Feld
k
k
zur Grenzäche und
hat also Komponenten sowohl
k
⊥
als auch
⊥
als auch
Wenn man nun noch beachtet, dass
zur Einfallsebene steht (B-Feld
⊥
zur Einfallsebene steht (E-Feld
⊥
#»
k ⊥E⊥H
Rechnen die verschiedenen Koezienten, i.e. die
(⊥ und
k
beziehen sich auf die Einfallsebene!):
9
zur Grenzäche,
zur Grenzäche.
gilt, kann man durch weiteres
Fresnel-Formeln
bestimmen
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E0r sin(θe − θt )
r⊥ =
=−
E0e E⊥Einfallsebene
sin(θe + θt )
E0t 2sinθt cosθe
t⊥ =
=
E0e E⊥
sin(θe + θt )
tan(θe − θt )
E0r =
rq =
E0e Eq
tan(θe + θt )
E0t 2sinθt cosθe
tq =
=
E0e Eq
sin(θe + θt )cos(θe − θt )
(31)
(32)
(33)
(34)
3.4 Reexions- und Transmissionskoezient
Ist man nun an der reektierten oder transmittierten Leistung interessiert, d.h.
am
Reexionsgrad
R oder
Transmissionsgrad
T, so kann man die auf die
Grenzäche einfallende (We ), reektierte (Wr ) und transmitterte Leistung (Wt )
betrachten, wobei gilt:
We = Wr + Wt
Rq = |rq |2 und R⊥ = |r⊥ |2
(35)
Tq = 1 − |rq |2 und T⊥ = 1 − |r⊥ |2
(36)
Bei senkrechtem Lichteinfall kann man den Reexionsgrad auch durch die
Brechungsindizes ausrechnen:
R=
Ir
=
Ie
ne − nt
ne + nt
10
2
(37)
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3.5 Brewsterwinkel und Totalreektion
Wenn man sich nun die Reexions- und Transmissionskoezienten anschaut,
dann merkt man, dass es Winkel- bzw. Brechungszahlkombinationen gibt, wo
kein Licht reektiert/transmittiert wird. So wird der Reexionskoezient bei
einem E-Feld
q
Null, wenn
θt + θe =
Brewsterwinkel
π
2 . So wird der
θB
deniert:
nt
tanθB =
oder θb = arctan
ne
nt
ne
(38)
Anschaulich erklärt, wenn wir annehmen, dass das reektierte Licht durch
oszillierende Dipole im Medium 2 erzeugt wird, die ein Dipolmoment parallel
zum tranmittierten Feld
tierten Wellenvektor
Richtung von
#»
k r,
#»
kt
Et
besitzen, das in der Einfallsebene
⊥
zum transmit-
liegt. Längs der Oszillationsrichtung der Dipole, also in
erfolgt keine Abstrahlung.
Fällt Licht aus dem optisch dichteren Medium auf die Grenzäche (ne
ndet man einen Winkel
und eine
π
2 , ab wo der Transmissionswinkel
der einfallenden Welle stattndet.
θT R <
Totalreektion
sinθT R =
nt
oder θT R = arcsin
ne
nt
ne
> nt ), so
θt > π2 ist
(39)
4 Verhalten im Materie
Die Ausbreitung von Licht wird vom Brechungsindex
n(ω) = √ 1
(ω)
des durch-
leuchteten Mediums bestimmt. Ein einfaches Modell, um die Frequenzabhängigkeit der el. Leitfähigkeit herzuleiten ist, sich die Elektronen mit einer Feder an die Atome/Moleküle gebunden vorzustellen. Zusammen mit dem E-Feld
als antreibende Kraft und der Wechselwirkung der Elektronen mit den Ato-
11
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me/Moleküle als Dämpfung erhalten wir einen gedämpften, getriebenen Oszillator:
−e
E0 exp(iωt)
me
−e
1
x(t) =
E(t)
me (ω02 − ω 2 ) + iγω
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
(40)
(41)
Bei einer Teilchendichte N bekommen wir mit der Polarisation
P (t) = −ex(t)N = ((ω) − 1)0 E(t)
die
(42)
frequenzabhängige dielektrische Funktion:
(ω) = 1 +
e2
1
0 me 2
N
(ω0 − ω 2 ) + iγω
(43)
Bei verdünnten Medien (z.B. Gase) kann man (näherungsweise) die dielektrischen Funktion in einen
komplexen Brechungsindex
wandeln:
12
nc = nR + inI
um-
Wellengleichung und Polarisation
nR = 1 +
nI =
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e2 N
ω02 − ω 2
2
20 me (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
e2 N
−γω
2
20 me (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(44)
(45)
Weit weg von der Resonanzfrequenz kann n angenährt werden, weit oberhalb
(z.B. für Röntgenstrahlung) erhalten wir durch Näherung:
2
ωpl
e2 N 1
=
1
−
20 me ω 2
2ω 2
q
2
ωpl = e0 mNe
nR ' 1 −
mit der sog. Plasmafrequenz
Bei Metallen, wo die Elektronen als frei betrachtet werden können (→ keine
Dämpfung
→ ω0 = 0),
erhält man näherungsweise
s
n'
1−
2
ωpl
ω2
4.1 Absorption
Die Auswirkung des komplexen Brechungsindex erkennt man am besten an
der Amplitude einer ebenen Welle, die durch ein Medium mit komplexem Brechungsindex geht (oBdA in der z-Richtung).
E(z, t) = E0 exp(iωt − ikz)
ωnI ωnR
z+
z
= E0 exp iωt − i
c
ωnc ωnR I
z
z
=
E0 exp
exp iωt − i
c
|
{z c }
(46)
Exponentiell abfallende Amplitude
Der Imaginärteil des Brechungsindex bewirkt eine
Absorption des Lichtes.
Für die Ortsabhängigkeit der Lichtintensität berechnet man:
13
Wellengleichung und Polarisation
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I(z) = I(0)exp
zusammen mit dem
2ωnI z
c
= I(0)exp(−az)
(47)
Extinktionskoezienten:
a=
e2 N
γω 2
20 me c (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(48)
5 Wellenausbreitung in anisotropen Medien
In einem anisotropen Medium hängt die dielektrische Funktion und somit auf
der Brechungsindex nicht nur von der Frequenz, sondern auch von der Ausrichtung des Strahls zum Körper ab. Eine Anwendung ist die Polarisation mithilfe
von anisotropen Materialen (z.B. Kalkspat), wo man eine Doppelbrechung beobachten kann. Ursache kann eine bestimmte, gerichtete Ordnung im Kristall
sein. Man beobachtet dort neben einen ordentlichen Strahl auch einen auÿerordentlichen Strahl, der sich vom ordentlichen Strahl im Brechungsindex und auch
der Ausbreitungsrichtung im Kristall unterscheidet. Die Ausbreitungsrichtung
des auÿerordentlichen Strahles wird bestimmt durch die sog. optische Achse.
Eine Anwendung der Doppelbrechung sind die
λ/2-
und
λ/4-Plättchen,
die
linear polarisiertes Licht in zirkular(elliptisch) polarisiertes Licht umwandeln
können und umgekehrt. Wenn oBdA. der Strahl in der z-Richtung ins Plättchen
einfällt, unterscheiden sich die Brechungsindizes in der x- und y-Richtung. Aufgrund der gleichbleibenden Frequenz für beide Strahlkomponenten stellt sich
wegen der Wegunterschiede
∆l
eine Phasenverschiebung
∆l = d(n0 − n0a )
∆φ = k0 d − k0a d =
2πd
(n0 − n0a )
λ
∆φ
ein,
(49)
(50)
π
2 , so dass einfallends linear
polarisiertes Licht nach dem Plättchen zirkular polarisiert ist. Bei λ/2-Plättchen
Im Falle von
λ/4-Plättchen
mit Dicke d gerade
14
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dreht man gerade den Drehsinn einer zirkular(elliptisch) polarisierten Welle (←
Polarisationsdreher)
15