Ubungsblatt 1

Seminar zur Vorlesung
Optik
WS 2012/13
Übungsblatt 1
18.12.2012
1. Die physikalische Größe E(x, t) soll durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben werden:
1 ∂ 2 E(x, t)
∂2
E(x,
t)
=
(1)
∂x2
c2
∂t2
a) Zeigen Sie, dass die Wellengleichung durch den Ansatz
E(x, t) = E0 · cos (ωt − kx + ϕ)
(2)
gelöst wird. Dabei ist k der Wellenvektor, ω die Kreisfrequenz und ϕ die Phase,
die die Anfangsbedingungen der Welle festlegt. Welche Einheiten müssen k, ω,
ϕ und c haben? Welcher Bedingung müssen k und ω genügen? Diese Bedingung
wird auch als Dispersionsrelation bezeichnet. (2 Punkte)
b) Was ist die räumliche und zeitliche Ausdehnung der ebenen Welle? Diskutieren
Sie, ob reale physikalische Wellen eine reine ebene Welle repräsentieren können.
(1 Punkt)
c) Skizzieren Sie die Welle zur Zeit t = 0 und t = t0 mit 0 < t0 < 2π/ω. Was
können Sie über die Ausbreitungsrichtung der Welle sagen? Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Wellenberg entlang der x-Achse? (1 Punkt)
d) In welcher Richtung bewegen sich die ebenen Wellen der Form:
E(x, t) = E0 · cos (kx − ωt + ϕ)
(3)
E(x, t) = E0 · cos (kx + ωt + ϕ)?
(4)
(1 Punkt)
2. In drei Dimensionen lautet die Wellengleichung:
~ r, t) =
4E(~
~ r, t)
1 ∂ 2 E(~
c2
∂t2
(5)
Eine besondere Form der Lösung sind Kugelwellen, die eine Kugelsymmetrie relativ zum Koordinatenursprung aufweisen und nur vom Abstand r vom Ursprung
abhängen. Schreiben Sie die Wellengleichung in Kugelkoordinaten um und zeigen
Sie, dass das folgende Feld den Radialteil der Wellengleichung löst (2 Punkte):
~ t) = Ẽ0 · exp (i(ωt − kr + ϕ)) · ~er
E(r,
r
(6)
Abbildung 1: Skizze des Fizeau Experiments
3. Eine linear polarisierte Lichtwelle breitet sich im Vakuum in positive z-Richtung aus.
Der Vektor des elektrischen Feldes schwingt entlang der y-Achse. Die MaximalamV
plitude beträgt E0 = 1000 m
und die Welle hat eine Frequenz von ν = 5, 6 · 1014 Hz.
Die elektrische Feldstärke erreicht bei x = 0 zum Zeitpunkt t = 0 ein Maximum.
a) Wie groß ist die maximale magnetische Feldstärke B0 ? Bestimmen Sie λ, ~k
~ x, t) an. (1
und ω und geben Sie die Wellengleichung des magnetischen Felds B(~
Punkt)
b) Berechnen Sie den Poynting-Vektor und bestimmen Sie die Intensität der Welle.
(2 Punkte)
4. Beim Originalversuch von Fizeau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit betrug
die Strecke vom Zahnrad bis zum Spiegel 8, 633 km. Das Zahnrad hatte 720 Zähne
und die erste Verdunkelung trat bei einer Drehfrequenz von 12, 6 Hz ein. Welchen
Wert für die Lichtgeschwindigkeit erhielt Fizeau? Nehmen Sie an, dass beim Zahnrad
Lücke und Zahn jeweils gleich groß sind. Wovon hängt die Genauigkeit der Methode
ab? (2 Punkte)
5. Die meisten Sterne können in guter Näherung als schwarze Strahler betrachtet werden. Ihre abgestrahlte Intensität in einem bestimmten Frequenzbereich dν ist dann
durch das Plancksche Strahlungsgesetz gegeben:
dIν (T ) =
2πhν 3
1
dν
c2 exp (hν/kB T ) − 1
(7)
a) Bestimmen Sie für die Sonne (T = 5777 K) und einen blauen Riesen (T =
30000 K), bei welcher Frequenz die maximale Intensität abgestrahlt wird. Welcher Farbe entspricht dies? (2 Punkte)
b) Formulieren Sie das Planck-Gesetz in Abhängigkeit von der Wellenlänge anstatt
der Frequenz. Wo liegt nun das Maximum für die beiden Sterne? Wie lässt sich
der Unterschied zur vorigen Aufgabe erklären? (3 Punkte)