4.3. Überlagerung von Schwingungen b) Verschiedene Frequenzen

4.3. Überlagerung von Schwingungen
Hier: Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen
a) Gleiche Frequenz aber senkrecht zueinander
Alle anderen Werte
ergeben Ellipsen
b) Verschiedene Frequenzen:
Summe:
gleiche Amplituden,
gleiche Schwingungsrichtung
Sind die Frequenzen nur ''wenig''
verschieden
y
2
1.5
1
0.5
''Schwe
bung''
0
-100
-50
0
-0.5
50
100
x
-1
-1.5
4.4. Gekoppelte Oszillatoren
z.B.: Pendel
''Kleine'' Auslenkungen um die Gleichgewichtslage
Lösungsansatz:
Kopplungskonstante D
Aussage über Verhältnis A/B
Multiplikation
2 Frequenzen:
Fundamentalschwingungen: Schwingen in Phase/Gegenphase
Allgemeine Lösung: Überlagerung -àSchwebung
Modell für einen deformierbaren Körper:
Einfachstes System: 2 Kugeln+ 3 Federn
n Kugeln mit (n+1) Federn
-à
n Eigenschwingungen
4.5. Wellen
Wellen: Mechanik, Elektromagnetismus, Materie, Gravitation?
Ausbreitung einer Störung in einem Medium: z.B.: Seil
t0
t1
t2
S' bewegt sich relativ zu S mit der
Geschwindigkeit v
oder
Die Störung läuft nach rechts
mit
oder links
?t 2 ?t 1 ?t 0 1
t0 t1 t2
0.75
y=
0.5
0.25
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
t
1
2^61
expÝ?
Ýx±t i Þ 2
1
Þ
Beschreibung der Transversalschwingung des Seils:
S 0 Ýz + dz, tÞ
Winkel
®Ýz + dz, tÞ
®Ýz,tÞ
S 0 Ýz, tÞ
HÝz + dz, tÞ
Annahmen:
Gravitation vernachlässigt
Flache Seilbuckel vorausgesetzt
HÝz, tÞ
Seilkraft S
d.h.: kleine Auslenkungen
wie im Ruhezustand Seil ideal flexibel, keine Reibung
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen für dm:
Steigung:
Sin ≈ Tan
Massenbelegung:
Amplituden
da:
dm
Taylor
Entwicklung
Eingesetzt:
Wellengleichung! Polarisation transversal
Wie ist der Zusammenhang mit der Störung auf dem Seil?
Wellengleichung allgemein
für Funktion y
Differenzieren:
Vergleich mit der
Wellengleichung ergibt:
Reflexion einer Seilwelle:
An der festen Wand ist die
Seilauslenkung =0
Die eintreffende Störung wird
mit negativem Vorzeichen
reflektiert!
Schallwellen in Gasen:
V 1 = A 6 dz Y
Schwingungsamplitude
0
Y
V 2 = A 6 Ýdz +
0
Y
dY
Þdz
dz
Front/Rückfläche
Volumenänderung:
Druckänderung
Druckgefälle verursacht eine Kraft:
auf die Masse:
Newtonsche Bewegungsgleichungen:
Wellengleichung einer Schallwelle!