Blatt 8 - Technische Universität München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka)
SS09 Blatt 8
Aufgabe: Wellengleichung
Vorerst untersuchen wir einen ungeladenen Isolator und setzen ein lineares, homogenes Medium voraus.
*a) Was bedeutet ungeladener Isolator?
Was bedeutet lineares, homogenes Medium?
*b) Wie lauten in diesem Fall die Maxwellschen Gleichungen?
~ und das magnec) Leiten Sie die homogene Wellengleichung für das elektrische Feld E
~ her.
tische Feld B
d) Kennen Sie eine Lösung der homogenen Wellengleichung?
Verifizieren Sie diese.
e) Zeigen Sie, dass Funktionen der Form u(x, t) = f (x ± ct), c = √1ǫµ , Lösungen der
eindimensionalen Wellengleichung sind. f ist hinreichend oft differenzierbar, aber
ansonsten eine beliebige Funktion der Phase (x ± ct).
f) Genügen
~ r , t) = B0 cos(ωt − kz)e~x + B0 sin(ωt − kz)e~y und
B(~
~ r , t) =
E(~
E0
(e~x
5
~
− 2e~y )ej(ωt−k~r) , ~k = k e~z
jeweils der dreidimensionalen homogenen Wellengleichung und sind somit eine sich im Raum ausbreitende Welle (separate Betrachtung)?
Identifizieren Sie die Ausbreitungsrichtung der Welle.
Nun betrachten wir anstelle eines ungeladenen Isolators einen ladungsfreien, elektrischen
Leiter. Hier gilt die inhomogene Wellengleichung:
~ − εµ ∂ 2 E
~ = µσ ∂ E
~
△E
∂t
∂t
2
~ − εµ ∂ 22 B
~ = µσ ∂ B
~
△B
∂t
∂t
~ und φ eingeführt und ge*g) In EMF1 wurden die elektromagnetischen Potentiale A
zeigt, dass die Aufgabenstellungen in der elektromagnetischen Feldtheorie auch über
diese formuliert werden können. Dies gilt auch hier. Zeigen Sie, dass die elektroma~ und φ Komponenten eines vierwertigen elektromagnetischen
gnetischen Potentiale A
Potentialwellenfeldes sind (vergl. Vorlesung).
Hinweis: Verwenden Sie die Lorentz-Eichung.
Lösung zur Aufgabe Wellengleichung
*a) ungeladen: Ladungsdichte ρ = 0
Isolator: Leitfähigkeit σ = 0
~ bzw. E
~
lineares Medium: µ bzw. ǫ ist keine Funktion von H
homogenes Medium: keine x,y,z-Abhängigkeit
~ =0
*b) div E
~ =−∂B
~
rotE
∂t
~ =0
div B
∂ ~
~
E
rotB = ǫµ ∂t
~ = graddiv E
~ − △E
~ = −rot ∂ B
~ = −ǫµ ∂ 22 E
~
c) rotrotE
∂t
∂t
~ = 0 folgt die homogene Wellengleichung (△ − ǫµ ∂ 22 )E
~ = 0.
Mit div E
∂t
~ = −ǫµ ∂ 22 B
~
~ = graddiv B
~ − △B
~ = ǫµrot ∂ E
rotrotB
∂t
∂t
~ = 0 folgt die homogene Wellengleichung (△ − ǫµ ∂ 22 )B
~ = 0.
Mit div B
∂t
~ t) = E~0 ej(ωt−kz) (k reel) die homod) Es wird gezeigt, dass der Lösungsansatz E(z,
gene Wellengleichung erfüllt. Dies entspricht dem Lösungsansatz einer ebenen Welle.
∂
~ j(ωt−kz) = (−k 2 + ǫµω 2)E
~ =0
(△ − ǫµ ∂t
2 )E0 e
2
√
~ t) = E~0 ej(ωt−kz) eine Lösung der
Mit k = ǫµω (Dispersionsrelation) ist E(z,
homogenen Wellengleichung.
e) Mit
∂2
u = f ′′
∂x2
∂2
u = c2 f ′′
∂t2
und f ′′ als die zweite Ableitung nach der Phase (x ± ct), also dem vollen
Argument und für c2 ǫµ = 1, ist die homogene Wellengleichung erfüllt.
∂2 ~
2
2 ~
f) (△ − ǫµ ∂t
2 )B = (−k + ǫµω )B = 0
∂2 ~
2
2 ~
(△ − ǫµ ∂t
2 )E = (−k + ǫµω )E = 0
√
~ als auch E
~ die hoMit der Dispersionsrelation k = ǫµω erfüllen sowohl B
mogene Wellengleichung. Die Ausbreitungsrichtung ist in z-Richtung.
~ = rotA
~ und E
~ = −∇φ −
*g) B
eingesetzt:
∂ ~
−△φ − div ∂t
A=
∂ ~
A
∂t
~ =
werden in div E
ρ
ǫ
~ = µ~j + ǫµ ∂ E
~
und rotB
∂t
ρ
ǫ
~ = graddiv A
~ − △A
~ = µ~j + ǫµ ∂ E
~ = µ~j − ǫµ∇ ∂ φ − ǫµ ∂ 22 A
~
rotrotA
∂t
∂t
∂t
2
~ + µ~j − ǫµ ∂ 2 A
~
~ + ǫµ ∂ φ) = △A
∇(div A
∂t
∂t
~ + ǫµ ∂ φ = 0 folgt:
Mit der Lorentz-Eichung div A
∂t
2
ρ
∂
(△ − ǫµ ∂t
2 )φ = − ǫ
∂2 ~
~
(△ − ǫµ ∂t
2 )A = −µj
~ sind gleichberechtigte Komponenten eines vierkomponentigen elektro(φ, A)
magnetischen Potentialwellenfeldes.