1. Übungsblatt - Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 7
Physik und Mechatronik
27.04.2009
Mathematisches Tutorium II
Sommersemester 2009
Übungsblatt 1
Aufgabe 1: Maxwellsche Gleichungen
~
a) Leiten Sie die Wellengleichung für das B-Feld
aus den Maxwellschen Gleichungen des
~
stromfreien und ladungsfreien (j=0, ρ = 0) Vakuums her.
~ = ∇(∇ · B)
~ −∆·B
~
b) Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Beziehung: ∇ × ∇ × B
c) Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung ∇ · ~j +
Vakuum her:
∂
∂t ρ
aus den Maxwell’schen Gleichungen im
~ = ρ
0 ∇ · E
(1)
~
~ = − ∂B
∇×E
∂t
~ = 0
∇·B
(2)
(3)
~ = µ0 (~j + 0
∇×B
~
E
)
∂t
(4)
Aufgabe 2: Wellengleichung und ebene Wellen
a) Zeigen Sie, dass ebene Wellen, der allgemeinen Form E(x − ct) bzw. E(x + ct) Lösungen
der eindimensionalen Wellengleichung
∂2
1 ∂2
E(x,
t)
=
E(x, t)
∂x2
c2 ∂t2
(5)
sind.
b) Zeigen Sie, dass ein Gauß’sches Wellenpaket
E(x, t) = Ae−
(x−ct)2
2w2
eik(x−ct)
(6)
Lösung der eindimensionalen Wellengleichung (5) ist.
c) Stehende Wellen: Wir betrachten die eindimensionale Wellengleichung (5) auf einem beschränkten Raumgebiet −a < x < a. Die ebene Welle, die sich in positiver x-Richtung in
diesem Raumgebiet ausbreitet sei gegeben durch:
E(x − ct) = A− ei(kx−ωt) + A∗− e−i(kx−ωt) ,
(7)
wobei hier die Dispersionsrelation ω = kc verwendet wurde. Die Welle in negativer xRichtung sei:
E(x + ct) = A+ ei(kx+ωt) + A∗+ e−i(kx+ωt)
(8)
Die gesamte elektische Feldstärke berechnet sich aus der Überlagerung dieser Beiträge
Eges (x, t) = E(x−ct)+E(x+ct). An den Randpunkten des Raumgebietes gelte: Eges (±a, t) =
0. Zeigen Sie, dass unter dieser Nebenbedingung die Wellen in dem Raumgebiet durch diskrete Wellenvektoren k = nπ/a, (n ∈ N0 ) beschrieben werden.
Aufgabe 3: Vielstrahlinterferenz: optisches Gitter
Wird die Anzahl der Spalte im Vergleich zum Young’schen Doppelspalt erhöht, so können eine
Vielzahl von Strahlen zur Interferenz gebracht werden. Ein Beispiel hierfür sind sogenannte
~ 2 , die
optische Gitter, wie in Abbilung 1 skizziert. Sei N die Anzahl der Linien. Die Welle E
~
~2 =
vom zweiten Spalt ausgeht, ist um ∆φ gegenüber der ersten Welle E1 phasenverschoben: E
−i∆φ
~ 1e
E
~ ges , die sich aus der Überlagerung der N Teila) Zeigen Sie, dass für die Gesamtfeldstärke E
strahlen ergibt, gilt:
sin( N ∆φ
2 )
~
Eges ∝
(9)
∆φ
sin( 2 )
Zeigen Sie dazu, dass gilt:
N
−1
X
j=0
qj =
1 − qN
1−q
(10)
b) Zeigen Sie, dass die Maxima des Inteferenzmusters bei ∆φ = 2πm, m ∈ Z auftreten. Für
welche Phasenverschiebung ∆φ treten Minima auf? Skizzieren Sie die Intensitätsverteilung
für N = 4.
Abbildung 1: Skizze eines optischen Gitters.
Janine Riedrich-Möller
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Besprechung der Aufgaben:
4. Mai