Theoretische Physik I (WS 2015 / 2016)

Theoretische Physik I
(WS 2015 / 2016)
Übung 9
28.12.2015
Aufgabe 34
(Teilchen im Magnetfeld)
(35 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m und der Ladung q, das sich in einem gleichförmigen
~ = B~ez bewegt.
Magnetfeld B
~ als B
~ =∇
~ ×A
~ mit A
~ = 1B
~ × ~r schreiben lässt. Beweisen Sie
(a) Beweisen Sie, dass sich B
2
~ = 1 Bρ~eφ gilt.
auch die äquivalente Aussage, dass in zylindrischen Polarkoordinaten A
2
(b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Teilchens in zylindrischen Polarkoordinaten auf
und bestimmen Sie die drei entsprechenden Lagrange-Gleichungen.
(c) Beschreiben Sie die im Detail diejenigen Lösungen der Lagrange-Gleichungen, für die ρ
konstant ist.
(d) Zeigen Sie, dass die allgemeine Lagrange-Funktion des Teilchens im elektromagnetischen
~→A
~ + ∇χ,
~ φ → φ − χ̇ symmetrisch bleibt.
Feld unter der Eichtransformation A
Aufgabe 35
(Wellengleichung in zwei Dimensionen)
(35 Punkte)
Die Lagrange-Dichte einer isotropen zweidimensionalen Membran, die Schwingungen senkrecht
zu ihrer Ruhelage ausführt, hat die Form
`=
i
1h
~ 2 .
µ(u̇)2 − Y (∇u)
2
Hierbei bezeichnet u(x, y) die Auslenkung der Membran (in z-Richtung) aus ihrer Gleichgewichtslage.
(a) Leiten Sie hieraus die Euler-Lagrange-Gleichungen für das Feld u(x, y) her.
(b) Die Membran sei in einen quadratischen Rahmen der Kantenlänge a eingespannt. Zeigen
Sie, dass die Fundamentallösungen der Wellengleichung dann die Form
u(x, y) = sin(kx) sin(ky) cos(ωt + ϕ)
haben. Bestimmen Sie die möglichen Wellenzahlen k und die Dispersionsrelation.
(c) Betrachten Sie nun Schwingungen der Form
u(x, y) = (sin(kn x) sin(km y) ± sin(km x) sin(kn y)) cos(ωt)
und bestimmen Sie die Knotenlinien der Schwingungen. Wie hängt die Anzahl der Knotenlinien von den Wellenzahlen ab?
Aufgabe 36
(Wellengleichung in drei Dimensionen)
(30 Punkte)
Die dreidimensionale Wellengleichung lautet
∆f −
1 ∂2
f = 0.
c2 ∂t2
Es sei f (ξ) eine beliebige Funktion mit den beiden Ableitungen f 0 (ξ) und f 00 (ξ), und es sei ~n
ein beliebiger Einheitsvektor.
~ (~n · ~r − ct) = ~nf 0 (~n · ~r − ct).
(a) Zeigen Sie, dass ∇f
(b) Zeigen Sie, dass f (~n · ~r − ct) die dreidimensionale Wellengleichung erfüllt.
(c) Erläutern Sie, dass f (~n · ~r − ct) ein Signal darstellt, das (zu einem bestimmten Zeitpunkt t) in jeder beliebigen Ebene senkrecht zu ~n konstant ist und sich starr mit der
Geschwindigkeit c ausbreitet.
(d) Für eine sphärisch symmetrische Funktion f (~r) = f (r) gilt
1 ∂2
(rf ) für r 6= 0.
∆f =
r ∂r2
Zeigen Sie, dass die Funktion
1
f (r, t) = g(r − ct)
r
die dreidimensionale Wellengleichung für r 6= 0 erfüllt.